Descreva o conjunto solução de cada problema:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para descrever o conjunto solução do sistema de duas equações envolvendo produtos vetoriais e escalares. A matéria envolvida aqui é Álgebra Vetorial, especificamente operações com vetores como produto cruzado (ou vetorial) e produto escalar (ou ponto). Para resolver, vamos precisar entender como calcular esses produtos e como resolver sistemas de equações vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos interpretar as equações do sistema:
Aqui,
é o vetor que queremos encontrar.
Passo 3
Vamos começar com a primeira equação, que envolve o produto vetorial. O produto cruzado de dois vetores resulta em um terceiro vetor perpendicular a ambos. A fórmula do produto vetorial é:
Aplicando isso à nossa primeira equação:
Então,
Passo 4
Agora, igualamos as componentes correspondentes:
Agora temos um sistema de equações lineares:
Passo 5
Vamos resolver esse sistema. Da primeira equação, podemos expressar
em função de
:
Substituindo
na terceira equação:
Observamos que essa é a mesma que a segunda equação. Isso significa que temos duas equações que são iguais, então nosso sistema é reduzido a:
Passo 6
Agora, queremos expressar
em função de
a partir da segunda equação:
Até aqui, temos:
-
-
-
é um parâmetro livre (pode ser qualquer número real)
Passo 7
Agora, vamos usar a segunda equação do sistema original, que é o produto escalar:
Isso significa:
Substituindo
e
pelas expressões que encontramos:
Passo 8
Vamos resolver essa equação:
Simplificando:
Então:
Passo 9
Agora que encontramos
, podemos determinar
e
:
Resposta
O conjunto solução é o vetor
.