Descreva o conjunto solução de cada problema: lx times(2,-1,1)=(1,1,-1) x cdot(1,2,1)=1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para descrever o conjunto solução do sistema de duas equações envolvendo produtos vetoriais e escalares. A matéria envolvida aqui é Álgebra Vetorial, especificamente operações com vetores como produto cruzado (ou vetorial) e produto escalar (ou ponto). Para resolver, vamos precisar entender como calcular esses produtos e como resolver sistemas de equações vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos interpretar as equações do sistema:
  1. x times (2, -1, 1) = (1, 1, -1)
  2. x cdot (1, 2, 1) = 1
Aqui, x = (x, y, z) é o vetor que queremos encontrar.

Passo 3

Vamos começar com a primeira equação, que envolve o produto vetorial. O produto cruzado de dois vetores resulta em um terceiro vetor perpendicular a ambos. A fórmula do produto vetorial é:
a times b = (aybz - azby, azbx - axbz, axby - aybx)
Aplicando isso à nossa primeira equação:
x times (2, -1, 1) = (1, 1, -1)
Então,
(y cdot 1 - z cdot (-1), z cdot 2 - x cdot 1, x cdot (-1) - y cdot 2) = (1, 1, -1)

Passo 4

Agora, igualamos as componentes correspondentes:
  1. y cdot 1 - z cdot (-1) = 1 Rightarrow y + z = 1
  2. z cdot 2 - x cdot 1 = 1 Rightarrow 2z - x = 1
  3. x cdot (-1) - y cdot 2 = -1 Rightarrow -x - 2y = -1
Agora temos um sistema de equações lineares:
  1. y + z = 1
  2. -x + 2z = 1
  3. -x - 2y = -1

Passo 5

Vamos resolver esse sistema. Da primeira equação, podemos expressar y em função de z:
y = 1 - z
Substituindo y na terceira equação:
-x - 2(1 - z) = -1 Rightarrow -x - 2 + 2z = -1 Rightarrow -x + 2z = 1
Observamos que essa é a mesma que a segunda equação. Isso significa que temos duas equações que são iguais, então nosso sistema é reduzido a:
  1. y = 1 - z
  2. -x + 2z = 1

Passo 6

Agora, queremos expressar x em função de z a partir da segunda equação:
-x + 2z = 1 Rightarrow x = 2z - 1
Até aqui, temos:
  • x = 2z - 1
  • y = 1 - z
  • z é um parâmetro livre (pode ser qualquer número real)

Passo 7

Agora, vamos usar a segunda equação do sistema original, que é o produto escalar:
x cdot (1, 2, 1) = 1
Isso significa:
x cdot 1 + y cdot 2 + z cdot 1 = 1
Substituindo x e y pelas expressões que encontramos:
(2z - 1) + 2(1 - z) + z = 1

Passo 8

Vamos resolver essa equação:
2z - 1 + 2 - 2z + z = 1
Simplificando:
(2z - 2z + z) + (-1 + 2) = 1 Rightarrow z + 1 = 1
Então:
z = 0

Passo 9

Agora que encontramos z = 0, podemos determinar x e y:
  • x = 2(0) - 1 = -1
  • y = 1 - 0 = 1

Resposta

O conjunto solução é o vetor x = (-1,,1,,0).

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