Considere o paralelepípedo ABCDEFGH com relação os seguintes vetores (1,1,1) e A D=(0,3,3). Calcule: O volume do Tetraedro EABD
Passo 1
Beleza, vamos desenrolar esse exercício juntos! Temos um paralelepípedo ABCDEFGH definido pelos vetores AB = (1,0,1), BE = (1,1,1) e AD = (0,3,3). O que queremos encontrar é o volume do tetraedro EABD. Para isso, vamos precisar usar conceitos de vetores e volume de sólidos no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um tetraedro. Ele é um sólido com quatro faces triangulares. No nosso caso, o tetraedro EABD é formado pelos pontos E, A, B e D. Para calcular o volume desse tetraedro, podemos usar a seguinte fórmula que envolve o produto escalar e vetorial de vetores:
V = 16 | EA cdot (EB times ED) |
Passo 3
Vamos identificar os vetores necessários. Sabemos os vetores AB, BE e AD. Precisamos encontrar EA, EB e ED.
EA é o vetor de E para A, que é o oposto de AE. Já que AB e BE são conhecidos, podemos encontrar EA.
EB é dado diretamente como (1,1,1).
ED pode ser encontrada usando AD.
Passo 4
Vamos calcular EA. Sabemos que:
AB = (1,0,1) e BE = (1,1,1)
Para chegar de E a A, passamos por B:
EA = EB + BA
Sabendo que BA = -AB = (-1,0,-1), temos:
EA = (1,1,1) + (-1,0,-1) = (0,1,0)
Passo 5
Agora, vamos calcular ED. Sabemos que:
AD = (0,3,3)
Como A a D é o vetor AD, então de E a D, podemos passar por A: