Considere o paralelepípedo ABCDEFGH com relação os seguintes vetores e . Calcule: O volume do Tetraedro EABD

Passo 1

Beleza, vamos desenrolar esse exercício juntos! Temos um paralelepípedo ABCDEFGH definido pelos vetores , e . O que queremos encontrar é o volume do tetraedro EABD. Para isso, vamos precisar usar conceitos de vetores e volume de sólidos no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um tetraedro. Ele é um sólido com quatro faces triangulares. No nosso caso, o tetraedro EABD é formado pelos pontos E, A, B e D. Para calcular o volume desse tetraedro, podemos usar a seguinte fórmula que envolve o produto escalar e vetorial de vetores:

Passo 3

Vamos identificar os vetores necessários. Sabemos os vetores , e . Precisamos encontrar , e .
  • é o vetor de E para A, que é o oposto de . Já que e são conhecidos, podemos encontrar .
  • é dado diretamente como .
  • pode ser encontrada usando .

Passo 4

Vamos calcular . Sabemos que:
Para chegar de E a A, passamos por B:
Sabendo que , temos:

Passo 5

Agora, vamos calcular . Sabemos que:
Como A a D é o vetor , então de E a D, podemos passar por A:

Passo 6

Agora que temos todos os vetores necessários:
Vamos calcular o produto vetorial :

Passo 7

Agora, vamos calcular o produto escalar :
Pegamos o valor absoluto:

Passo 8

Finalmente, aplicamos a fórmula do volume:

Resposta

O volume do tetraedro EABD é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados

Obtenha a matriz , em cada um dos seguintes casos: , definida por ,
Determine se existem valores e que tornam verdadeira a igualdade:
Sejam e , determine as coordenadas de:
Resolva em , as equações: .