Considere o paralelepípedo ABCDEFGH com relação os seguintes vetores LI, A B=(1,0,1), B E= (1,1,1) e A D=(0,3,3). Calcule: O volume do Tetraedro EABD

Passo 1

Beleza, vamos desenrolar esse exercício juntos! Temos um paralelepípedo ABCDEFGH definido pelos vetores AB = (1,0,1), BE = (1,1,1) e AD = (0,3,3). O que queremos encontrar é o volume do tetraedro EABD. Para isso, vamos precisar usar conceitos de vetores e volume de sólidos no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um tetraedro. Ele é um sólido com quatro faces triangulares. No nosso caso, o tetraedro EABD é formado pelos pontos E, A, B e D. Para calcular o volume desse tetraedro, podemos usar a seguinte fórmula que envolve o produto escalar e vetorial de vetores:
V = 16 | EA cdot (EB times ED) |

Passo 3

Vamos identificar os vetores necessários. Sabemos os vetores AB, BE e AD. Precisamos encontrar EA, EB e ED.
  • EA é o vetor de E para A, que é o oposto de AE. Já que AB e BE são conhecidos, podemos encontrar EA.
  • EB é dado diretamente como (1,1,1).
  • ED pode ser encontrada usando AD.

Passo 4

Vamos calcular EA. Sabemos que:
AB = (1,0,1) e BE = (1,1,1)
Para chegar de E a A, passamos por B:
EA = EB + BA
Sabendo que BA = -AB = (-1,0,-1), temos:
EA = (1,1,1) + (-1,0,-1) = (0,1,0)

Passo 5

Agora, vamos calcular ED. Sabemos que:
AD = (0,3,3)
Como A a D é o vetor AD, então de E a D, podemos passar por A:
ED = EA + AD = (0,1,0) + (0,3,3) = (0,4,3)

Passo 6

Agora que temos todos os vetores necessários:
EA = (0,1,0)
EB = (1,1,1)
ED = (0,4,3)
Vamos calcular o produto vetorial EB times ED:
EB times ED = i & j & k 1 & 1 & 1 0 & 4 & 3 = i(1 cdot 3 - 1 cdot 4) - j(1 cdot 3 - 1 cdot 0) + k(1 cdot 4 - 1 cdot 0)
= i(-1) - j(3) + k(4) = (-1, -3, 4)

Passo 7

Agora, vamos calcular o produto escalar EA cdot (EB times ED):
EA cdot (-1, -3, 4) = 0 cdot (-1) + 1 cdot (-3) + 0 cdot 4 = -3
Pegamos o valor absoluto:
| -3 | = 3

Passo 8

Finalmente, aplicamos a fórmula do volume:
V = 16 times 3 = 36 = 0,5

Resposta

O volume do tetraedro EABD é 0,5 unidades cúbicas.

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