Considere o paralelepípedo com as arestas adjacentes
u & =3 i+2 j+k v & =i+j+2 k w & =i+3 j+3 k
a) Encontre o volume.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um paralelepípedo definido por três vetores: , e . Nosso objetivo aqui é encontrar o volume desse paralelepípedo. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, especificamente o produto vetorial e o produto escalar.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular o produto vetorial entre a times b = i & j & k a1 & a2 & a3 b1 & b2 & b3 e v times w = i & j & k 1 & 1 & 2 1 & 3 & 3 , que é representado por v times w = i(1 cdot 3 - 2 cdot 3) - j(1 cdot 3 - 2 cdot 1) + k(1 cdot 3 - 1 cdot 1) = -3i - j + 2k . O produto vetorial nos dá um novo vetor que é perpendicular aos vetores e . A fórmula para o produto vetorial de dois vetores e é:
Aplicando isso aos nossos vetores e :
Calculando o determinante:

Passo 3

Agora que temos o vetor u cdot (v times w) = (u1 cdot w1) + (u2 cdot w2) + (u3 cdot w3) , vamos calcular o produto escalar entre u cdot (v times w) = (3 cdot -3) + (2 cdot -1) + (1 cdot 2) = -9 - 2 + 2 = -9 e esse vetor. O produto escalar é dado por:
Substituindo os valores:

Resposta

O volume do paralelepípedo é unidades cúbicas.

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