Considere o paralelepípedo com as arestas adjacentes
u & =3 i+2 j+k v & =i+j+2 k w & =i+3 j+3 k
c) Encontre o ângulo entre u e o plano contendo a face determinada por v e w.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três vetores que definem um paralelepípedo:
u &= 3 i + 2 j + k v &= i + j + 2 k w &= i + 3 j + 3 k
A parte c) da questão pede para encontrar o ângulo entre o vetor u e o plano que contém a face definida pelos vetores v e w. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria vetorial, como produto escalar, produto vetorial e a relação entre vetores e planos.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar uma normal ao plano que contém os vetores v e w. A normal ao plano pode ser obtida calculando o produto vetorial entre v e w.
O produto vetorial de dois vetores a e b é dado por:
a times b = i & j & k ax & ay & az bx & by & bz
Vamos calcular v times w.

Passo 3

Calculando o produto vetorial v times w:
v times w = i & j & k 1 & 1 & 2 1 & 3 & 3
Expandindo o determinante:
= i(1 cdot 3 - 2 cdot 3) - j(1 cdot 3 - 2 cdot 1) + k(1 cdot 3 - 1 cdot 1)
= i(3 - 6) - j(3 - 2) + k(3 - 1)
= -3i - 1j + 2k
Portanto, a normal ao plano é n = -3i - j + 2k.

Passo 4

Agora, queremos encontrar o ângulo entre o vetor u e o plano. Para isso, podemos encontrar o ângulo entre u e a normal ao plano n. Esse ângulo é chamado de ângulo complementar ao que procuramos. Ou seja:
thetaentre u e plano = 90^circ - thetaentre u e n
Vamos primeiro calcular o ângulo entre u e n usando o produto escalar.

Passo 5

O produto escalar entre dois vetores a e b é dado por:
a cdot b = |a| |b| costheta
Podemos rearranjar para encontrar o ângulo theta:
theta = arccos( a cdot b|a| |b| )
Vamos calcular u cdot n e os módulos de u e n.

Passo 6

Calculando o produto escalar u cdot n:
u cdot n = (3)(-3) + (2)(-1) + (1)(2) = -9 - 2 + 2 = -9
Calculando o módulo de u:
|u| = raiz3^2 + 2^2 + 1^2 = raiz9 + 4 + 1 = raiz14
Calculando o módulo de n:
|n| = raiz(-3)^2 + (-1)^2 + 2^2 = raiz9 + 1 + 4 = raiz14

Passo 7

Agora, substituindo na fórmula do ângulo:
theta = arccos( -9raiz14 cdot raiz14 ) = arccos( -914 )
Calculando o valor numérico:
theta approx arccos( -0,6429 ) approx 130^circ

Passo 8

Lembrando que o ângulo entre u e o plano é o complementar de 130^circ:
thetaentre u e plano = 90^circ - (130^circ - 90^circ) = 50^circ

Resposta

O ângulo entre o vetor u e o plano é aproximadamente 50^circ.

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