Considere o paralelepípedo com as arestas adjacentes
c) Encontre o ângulo entre e o plano contendo a face determinada por .
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três vetores que definem um paralelepípedo:
A parte c) da questão pede para encontrar o ângulo entre o vetor e o plano que contém a face definida pelos vetores e . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria vetorial, como produto escalar, produto vetorial e a relação entre vetores e planos.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar uma normal ao plano que contém os vetores e . A normal ao plano pode ser obtida calculando o produto vetorial entre e .
Agora, queremos encontrar o ângulo entre o vetor u e o plano. Para isso, podemos encontrar o ângulo entre u e a normal ao plano n. Esse ângulo é chamado de ângulo complementar ao que procuramos. Ou seja:
thetaentre u e plano = 90^circ - thetaentre u e n
Vamos primeiro calcular o ângulo entre u e n usando o produto escalar.
Passo 5
O produto escalar entre dois vetores a e b é dado por:
a cdot b = |a| |b| costheta
Podemos rearranjar para encontrar o ângulo theta:
theta = arccos( a cdot b|a| |b| )
Vamos calcular u cdot n e os módulos de u e n.
Passo 6
Calculando o produto escalar u cdot n:
u cdot n = (3)(-3) + (2)(-1) + (1)(2) = -9 - 2 + 2 = -9