Determine a área do paralelogramo de vértices A, B, C e D.
25. A(1,1,0), B(3,1,0), C(1,4,2) e D(3,4,2).

Passo 1

Então, temos um paralelogramo com os vértices , , e . Vamos calcular a área desse paralelogramo usando conceitos de álgebra vetorial, especificamente vetores e produto vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar dois vetores que definem o paralelogramo. Podemos usar os vetores AB = B - A = (3-1, 1-1, 0-0) = (2, 0, 0) e AD = D - A = (3-1, 4-1, 2-0) = (2, 3, 2) . Para encontrar esses vetores, subtraímos as coordenadas dos pontos:

Passo 3

A área do paralelogramo é dada pelo módulo do produto vetorial desses dois vetores. O produto vetorial AB times AD = i & j & k 2 & 0 & 0 2 & 3 & 2 = i(0 cdot 2 - 0 cdot 3) - j(2 cdot 2 - 0 cdot 2) + k(2 cdot 3 - 0 cdot 2) resulta em um vetor perpendicular ao plano do paralelogramo, e o tamanho desse vetor equivale à área que queremos encontrar.
Vamos calcular AB times AD = i(0) - j(4) + k(6) = (0, -4, 6) :
Simplificando cada componente:

Passo 4

Agora, vamos calcular o módulo do vetor resultante para obter a área:
|AB times AD| = raiz0^2 + (-4)^2 + 6^2 = raiz0 + 16 + 36 = raiz52 = 2raiz13

Resposta

A área do paralelogramo é unidades quadradas.

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