Determine a área do paralelogramo A B C D cujas diagonais são A C=lang<=-1,3,-3rang<= e B D=lang<=-3,-3,1rang<=.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a área de um paralelogramo chamado ABCD. A gente sabe as diagonais desse paralelogramo: AC = lang<= -1, 3, -3 rang<= e BD = lang<= -3, -3, 1 rang<=. Para resolver isso, vamos usar vetores e operações com eles, especificamente o produto vetorial, que nos ajuda a encontrar áreas de figuras no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em um paralelogramo, as diagonais se relacionam com os vetores dos lados. Se chamarmos os lados como vetores a e b, as diagonais podem ser expressas como:
AC = a + b
BD = a - b
Nosso objetivo é achar a área do paralelogramo, que é igual ao módulo do produto vetorial entre os vetores dos lados:
Área = |a times b| Á

Passo 3

Mas a gente tem as diagonais, não os lados diretamente. Então vamos resolver para encontrar a e b. Somando as duas equações das diagonais:
AC + BD = (a + b) + (a - b) = 2a
Então:
a = AC + BD2 = lang<= -1, 3, -3 rang<= + lang<= -3, -3, 1 rang<=2 = lang<= -4, 0, -2 rang<=2 = lang<= -2, 0, -1 rang<=

Passo 4

Agora, subtraindo as equações das diagonais:
AC - BD = (a + b) - (a - b) = 2b
Então:
b = AC - BD2 = lang<= -1, 3, -3 rang<= - lang<= -3, -3, 1 rang<=2 = lang<= 2, 6, -4 rang<=2 = lang<= 1, 3, -2 rang<=

Passo 5

Agora que temos a = lang<= -2, 0, -1 rang<= e b = lang<= 1, 3, -2 rang<=, vamos calcular o produto vetorial a times b:
a times b = i & j & k -2 & 0 & -1 1 & 3 & -2
Calculando o determinante:
a times b = i(0 cdot (-2) - (-1) cdot 3) - j((-2) cdot (-2) - (-1) cdot 1) + k((-2) cdot 3 - 0 cdot 1)
= i(0 + 3) - j(4 + 1) + k(-6 - 0)
= 3i - 5j - 6k
Então, a times b = lang<= 3, -5, -6 rang<=.

Passo 6

Agora, vamos encontrar o módulo desse vetor para achar a área:
|a times b| = raiz3^2 + (-5)^2 + (-6)^2 = raiz9 + 25 + 36 = raiz70
Portanto, a área do paralelogramo ABCD é raiz70 unidades de área.

Resposta

A área do paralelogramo ABCD é raiz70 unidades de área.

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