Determine a área do triângulo de vértices P, Q e R.
27. P(1,5,-2), Q(0,0,0) e R(3,5,1).

Passo 1

Então, a gente tem um triângulo com os vértices em , e . Nosso objetivo é descobrir a área desse triângulo. Para isso, vamos usar vetores e o produto vetorial, que são ferramentas da Geometria Analítica no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular os vetores que representam dois lados do triângulo. Vamos usar o ponto PQ = Q - P = (0-1, , 0-5, , 0-(-2)) = (-1, , -5, , 2) como ponto de referência:
PR = R - P = (3-1, , 5-5, , 1-(-2)) = (2, , 0, , 3)

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto vetorial dos vetores PQ times PR = i & j & k -1 & -5 & 2 2 & 0 & 3 = i ( (-5)(3) - (2)(0) ) - j ( (-1)(3) - (2)(2) ) + k ( (-1)(0) - (-5)(2) ) e = i (-15) - j (-3 - 4) + k (0 + 10) . O produto vetorial resulta em um vetor perpendicular ao plano formado por = -15i + 7j + 10k e , e sua magnitude é igual à área do paralelogramo formado por esses vetores.

Passo 4

Em seguida, vamos calcular a magnitude desse vetor resultante para encontrar a área do paralelogramo:
|PQ times PR| = raiz(-15)^2 + 7^2 + 10^2 = raiz225 + 49 + 100 = raiz374 approx 19,34

Passo 5

Finalmente, a área do triângulo é metade da magnitude do produto vetorial:
Área = 12 |PQ times PR| approx 12 times 19,34 approx 9,67 Á

Resposta

A área do triângulo é aproximadamente unidades de área.

Exercícios relacionados