Obtenha equações paramétricas para a reta que passa pelos pontos P e Q e também para o segmento de reta ligando esses pontos.
44. b) P(5,-2,1), Q(2,4,2)

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar as equações paramétricas da reta que passa pelos pontos e , e também as equações do segmento de reta que liga esses dois pontos. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o vetor diretor da reta, que é a diferença entre as coordenadas de PQ = Q - P = (2 - 5, , 4 - (-2), , 2 - 1) = (-3, , 6, , 1) e . Esse vetor nos dá a direção da reta.

Passo 3

Com o ponto x = x0 + a t y = y0 + b t z = z0 + c t e o vetor diretor , podemos montar as equações paramétricas da reta. As equações paramétricas de uma reta no espaço são dadas por:
Onde é um ponto na reta e é o vetor diretor.

Passo 4

Substituindo o ponto x = 5 - 3t y = -2 + 6t z = 1 + t e o vetor diretor nas equações paramétricas, temos:

Passo 5

Agora, para encontrar as equações paramétricas do segmento de reta que liga x = 5 - 3t y = -2 + 6t z = 1 + t com 0 <= t <= 1 e , precisamos restringir o parâmetro para que ele varie apenas entre 0 e 1. Isso garante que as equações representem apenas os pontos do segmento entre e .
Então, as equações paramétricas do segmento de reta são:

Resposta

As equações paramétricas da reta que passa pelos pontos x = 5 - 3t y = -2 + 6t z = 1 + t e x = 5 - 3t y = -2 + 6t z = 1 + t com 0 <= t <= 1 são:
E as equações paramétricas do segmento de reta ligando e são:

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