Escreva as seguintes superfícies em coordenadas cilíndricas e esféricas:
(b) -x^2-y^2+z^2=4

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação e precisamos reescrevê-la usando coordenadas cilíndricas e esféricas. Isso faz parte do estudo de coordenadas em geometria analítica, que nos ajuda a descrever superfícies de maneira diferente das coordenadas cartesianas tradicionais. Para resolver isso, vamos precisar entender como converter de coordenadas cartesianas para cilíndricas e esféricas.

Passo 2

Vamos começar convertendo para coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, usamos - r^2 + z^2 = 4 , onde:
  • é a distância do ponto à origem no plano ,
  • é o ângulo em relação ao eixo ,
  • permanece o mesmo que na coordenada cartesiana.
Então, na equação original , substituímos por :

Passo 3

Agora, vamos converter para coordenadas esféricas. Nas coordenadas esféricas, usamos x^2 + y^2 = rho^2 sin^2 phi , onde:
  • z^2 = rho^2 cos^2 phi é a distância do ponto à origem,
  • - (rho^2 sin^2 phi) + rho^2 cos^2 phi = 4 é o ângulo entre o vetor posição e o eixo ,
  • é o mesmo ângulo em relação ao eixo na coordenada cilíndrica.
Primeiro, expressamos em termos de e :
Substituindo na equação original:

Resposta

Em coordenadas cilíndricas:
- r^2 + z^2 = 4
Em coordenadas esféricas:
- rho^2 sin^2 phi + rho^2 cos^2 phi = 4

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