Escreva as seguintes superfícies em coordenadas cilíndricas e esféricas:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação e precisamos reescrevê-la usando coordenadas cilíndricas e esféricas. Isso faz parte do estudo de coordenadas em geometria analítica, que nos ajuda a descrever superfícies de maneira diferente das coordenadas cartesianas tradicionais. Para resolver isso, vamos precisar entender como converter de coordenadas cartesianas para cilíndricas e esféricas.

Passo 2

Vamos começar convertendo para coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, usamos , onde:
  • é a distância do ponto à origem no plano ,
  • é o ângulo em relação ao eixo ,
  • permanece o mesmo que na coordenada cartesiana.
Então, na equação original , substituímos por :

Passo 3

Agora, vamos converter para coordenadas esféricas. Nas coordenadas esféricas, usamos , onde:
  • é a distância do ponto à origem,
  • é o ângulo entre o vetor posição e o eixo ,
  • é o mesmo ângulo em relação ao eixo na coordenada cilíndrica.
Primeiro, expressamos em termos de e :
Substituindo na equação original:

Resposta

Em coordenadas cilíndricas:
Em coordenadas esféricas:

Exercícios relacionados

Dados os pontos , ,
b) Escreva os vetores como combinação linear dos vetores e .
Considere o paralelepípedo determinado pelos vetores no espaço e .
c) Calcule as medidas das projeções da diagonal com os planos coordenados e com os eixos coordenados.
Escreva as seguintes superfícies em coordenadas cilíndricas e esféricas:
Escreva as seguintes superfícies em coordenadas cilíndricas e esféricas: