Escreva as seguintes superfícies em coordenadas cilíndricas e esféricas:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a equação
e precisamos reescrevê-la usando coordenadas cilíndricas e esféricas. Isso faz parte do estudo de coordenadas em geometria analítica, que nos ajuda a descrever superfícies de maneira diferente das coordenadas cartesianas tradicionais. Para resolver isso, vamos precisar entender como converter de coordenadas cartesianas para cilíndricas e esféricas.
Passo 2
Vamos começar convertendo para coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, usamos
, onde:
-
é a distância do ponto à origem no plano , -
é o ângulo em relação ao eixo , -
permanece o mesmo que na coordenada cartesiana.
Então, na equação original
, substituímos
por
:
Passo 3
Agora, vamos converter para coordenadas esféricas. Nas coordenadas esféricas, usamos
, onde:
-
é a distância do ponto à origem, -
é o ângulo entre o vetor posição e o eixo , -
é o mesmo ângulo em relação ao eixo na coordenada cilíndrica.
Primeiro, expressamos
em termos de
e
:
Substituindo na equação original:
Resposta
Em coordenadas cilíndricas:
Em coordenadas esféricas: