Considere um ponto P representado em coordenadas esféricas por (r, theta, varphi), onde r=3 m, theta=pi3 e varphi=pi4.
b - Calcule a distância de P até a origem usando as coordenadas cartesianas obtidas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um ponto nas coordenadas esféricas com , e . O objetivo aqui é calcular a distância desse ponto até a origem usando as coordenadas cartesianas que já foram obtidas.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar como converter as coordenadas esféricas para cartesianas. As fórmulas para fazer essa conversão são:
x = r cdot sin(theta) cdot cos(varphi) y = r cdot sin(theta) cdot sin(varphi) z = r cdot cos(theta)
Essas equações nos dão as coordenadas , e no espaço tridimensional a partir das coordenadas esféricas , e .

Passo 3

Vamos substituir os valores dados nas fórmulas:
x = 3 cdot sin(pi3) cdot cos(pi4) y = 3 cdot sin(pi3) cdot sin(pi4) z = 3 cdot cos(pi3)
Calculando cada parte:
sin(pi3) = raiz32, cos(pi4) = raiz22, sin(pi4) = raiz22, cos(pi3) = 12
Substituindo:
x = 3 cdot raiz32 cdot raiz22 = 3raiz64 y = 3 cdot raiz32 cdot raiz22 = 3raiz64 z = 3 cdot 12 = 32
Então, as coordenadas cartesianas de são .

Passo 4

Agora, para encontrar a distância de d = raizx^2 + y^2 + z^2 até a origem usando as coordenadas cartesianas, usamos a fórmula da distância no espaço tridimensional:
d = raiz(3raiz64)^2 + (3raiz64)^2 + (32)^2
Vamos substituir os valores que encontramos:
(3raiz64)^2 = 9 cdot 616 = 5416
Calculando cada termo:
(3raiz64)^2 = 5416
(32)^2 = 94
d = raiz5416 + 5416 + 94 = raiz10816 + 3616 = raiz14416 = raiz9 = 3,m
Somando tudo:

Resposta

A distância de até a origem é .

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