Considere um ponto representado em coordenadas esféricas por , onde e .
b - Calcule a distância de até a origem usando as coordenadas cartesianas obtidas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um ponto nas coordenadas esféricas com , e . O objetivo aqui é calcular a distância desse ponto até a origem usando as coordenadas cartesianas que já foram obtidas.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar como converter as coordenadas esféricas para cartesianas. As fórmulas para fazer essa conversão são:
Essas equações nos dão as coordenadas , e no espaço tridimensional a partir das coordenadas esféricas , e .

Passo 3

Vamos substituir os valores dados nas fórmulas:
Calculando cada parte:
Substituindo:
Então, as coordenadas cartesianas de são .

Passo 4

Agora, para encontrar a distância de até a origem usando as coordenadas cartesianas, usamos a fórmula da distância no espaço tridimensional:
Vamos substituir os valores que encontramos:
Calculando cada termo:
Somando tudo:

Resposta

A distância de até a origem é .

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Dado o vetor em coordenadas cilíndricas:
a - Converta para suas componentes em coordenadas cartesianas.
Para um vetor expresso em coordenadas polares, considere e . Resolva:
a - Calcule a magnitude do vetor .
(b) Agora assuma que e e . Obtenha a posição em função do tempo sabendo que a partícula estava inicialmente em .
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a - Determine o elemento de área na superfície superior e especifique sua direção.