Determine se cada uma das equações abaixo é exata. Para as exatas, encontre a solução. d yd x=-a x+b yb x-c y;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para determinar se a equação diferencial dada é exata. Se for, a gente também precisa encontrar a solução. A equação é:
d yd x = -a x + b yb x - c y
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma equação exata e como verificar isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de uma forma que nos ajude a identificar as funções (b x - c y) d y + (a x + b y) d x = 0 e M(x, y) = a x + b y N(x, y) = b x - c y . A equação dada pode ser rearranjada assim:
Aqui, identificamos que:

Passo 3

Agora, precisamos verificar se a equação é exata. Para isso, usamos a condição de exatidão, que diz que:
partial Mpartial y = partial Npartial x
Vamos calcular essas derivadas parciais.

Passo 4

Calculando a derivada parcial de partial Mpartial y = partialpartial y (a x + b y) = b em relação a partial Npartial x = partialpartial x (b x - c y) = b :
E agora, a derivada parcial de em relação a :

Passo 5

Vemos que:
partial Mpartial y = b partial Npartial x = b
Como as duas derivadas são iguais, a equação é de fato exata!

Passo 6

Agora que sabemos que a equação é exata, vamos encontrar a solução. Para isso, precisamos encontrar uma função dF = M d x + N d y tal que:
F(x, y) = integral M d x + integral ( N - partialpartial y integral M d x ) d y
Isso significa que:

Passo 7

Vamos começar integrando integral M d x = integral (a x + b y) d x = a2 x^2 + b y x + h(y) em relação a :
Aqui, é uma função de que vamos determinar.

Passo 8

Agora, calculamos a derivada de partial Fpartial y = b x + h'(y) = b x - c y em relação a h'(y) = -c y h(y) = -c2 y^2 + C e igualamos a :
Isso nos dá:
Onde é a constante de integração.

Passo 9

Substituindo F(x, y) = a2 x^2 + b x y - c2 y^2 + C na expressão de , temos:
A solução geral da equação diferencial é dada por .

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
a2 x^2 + b x y - c2 y^2 = C
Onde é uma constante arbitrária.

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