Determine se cada uma das equações abaixo é exata. Para as exatas, encontre a solução. ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para determinar se a equação diferencial dada é exata. Se for, a gente também precisa encontrar a solução. A equação é:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma equação exata e como verificar isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de uma forma que nos ajude a identificar as funções e . A equação dada pode ser rearranjada assim:
Aqui, identificamos que:

Passo 3

Agora, precisamos verificar se a equação é exata. Para isso, usamos a condição de exatidão, que diz que:
Vamos calcular essas derivadas parciais.

Passo 4

Calculando a derivada parcial de em relação a :
E agora, a derivada parcial de em relação a :

Passo 5

Vemos que:
Como as duas derivadas são iguais, a equação é de fato exata!

Passo 6

Agora que sabemos que a equação é exata, vamos encontrar a solução. Para isso, precisamos encontrar uma função tal que:
Isso significa que:

Passo 7

Vamos começar integrando em relação a :
Aqui, é uma função de que vamos determinar.

Passo 8

Agora, calculamos a derivada de em relação a e igualamos a :
Isso nos dá:
Onde é a constante de integração.

Passo 9

Substituindo na expressão de , temos:
A solução geral da equação diferencial é dada por .

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante arbitrária.

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