Determine se cada uma das equações abaixo é exata. Para as exatas, encontre a solução.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para determinar se a equação diferencial dada é exata. Se for, a gente também precisa encontrar a solução. A equação é:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma equação exata e como verificar isso passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de uma forma que nos ajude a identificar as funções
e
. A equação dada pode ser rearranjada assim:
Aqui, identificamos que:
Passo 3
Agora, precisamos verificar se a equação é exata. Para isso, usamos a condição de exatidão, que diz que:
Vamos calcular essas derivadas parciais.
Passo 4
Calculando a derivada parcial de
em relação a
:
E agora, a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 5
Vemos que:
Como as duas derivadas são iguais, a equação é de fato exata!
Passo 6
Agora que sabemos que a equação é exata, vamos encontrar a solução. Para isso, precisamos encontrar uma função
tal que:
Isso significa que:
Passo 7
Vamos começar integrando
em relação a
:
Aqui,
é uma função de
que vamos determinar.
Passo 8
Agora, calculamos a derivada de
em relação a
e igualamos a
:
Isso nos dá:
Onde
é a constante de integração.
Passo 9
Substituindo
na expressão de
, temos:
A solução geral da equação diferencial é dada por
.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.