Determine, se existir, os valores de x para que o vetor v=x imath+6 k seja paralelo ao produto vetorial de w=imath+x jmath+2 k por u=2 imath+jmath+2 k.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores de para os quais o vetor é paralelo ao produto vetorial entre e .
Aqui, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, especificamente produto vetorial e vetores paralelos. Vamos precisar calcular o produto vetorial e depois verificar para quais valores de o vetor é múltiplo desse produto vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto vetorial a times b = imath & jmath & k a1 & a2 & a3 b1 & b2 & b3 . Lembra que o produto vetorial de dois vetores w times u = imath & jmath & k 1 & x & 2 2 & 1 & 2 e é dado por:
Aplicando isso aos nossos vetores e :

Passo 3

Vamos calcular esse determinante passo a passo:
w times u = imath cdot (x cdot 2 - 2 cdot 1) - jmath cdot (1 cdot 2 - 2 cdot 2) + k cdot (1 cdot 1 - x cdot 2)
Simplificando cada termo:
w times u = imath cdot (2x - 2) - jmath cdot (2 - 4) + k cdot (1 - 2x)
w times u = (2x - 2)imath + 2jmath + (1 - 2x)k

Passo 4

Agora temos que v = lambda (w times u) . Queremos que isso seja paralelo a x = lambda (2x - 2) .
Dois vetores são paralelos se um for um múltiplo escalar do outro. Ou seja, existe um escalar 0 = lambda cdot 2 tal que:
6 = lambda (1 - 2x)
Isso significa que as componentes correspondentes dos vetores devem satisfazer as seguintes equações:

Passo 5

Vamos analisar essas equações. A segunda equação nos dá:
0 = lambda cdot 2 implies lambda = 0
Mas se substituirmos x = 0 cdot (2x - 2) implies x = 0 nas outras equações:
6 = 0 cdot (1 - 2x) implies 6 = 0
A última equação, , é impossível. Isso significa que não existe nenhum valor de que satisfaça todas as três equações simultaneamente.

Resposta

Não existe nenhum valor de para o qual o vetor seja paralelo ao produto vetorial .

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