Reduzir, se necessário, cada uma das equações à forma canônica, identificar e construir o gráfico da quádrica que ela representa utilizando o GeoGebra (ou qualquer outro aplicativo de preferência): (paraboloide circular)

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma equação que representa uma superfície chamada “quádrupla”. O objetivo aqui é simplificar essa equação para a sua forma mais básica, conhecida como “forma canônica”. Além disso, vamos identificar qual tipo de quádrupla ela é e, para finalizar, construir o gráfico dessa superfície usando um aplicativo como o GeoGebra. A equação que estamos trabalhando é:

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma forma canônica. A forma canônica de uma equação é aquela que está simplificada de uma maneira padrão, facilitando a identificação e o estudo da superfície que ela representa. No caso das quádruplas, existem diferentes tipos, como elipsoides, hiperboloides e paraboloides.

Passo 3

Agora, vamos ver se nossa equação já está na forma canônica ou se precisamos rearranjá-la. A equação que temos é:
Podemos reescrever isso para facilitar a comparação com a forma canônica dos paraboloides. Dividindo ambos os lados por 9, temos:

Passo 4

Comparando com a forma canônica de um paraboloide circular, que é geralmente dada por:
onde é a distância focal, percebemos que nossa equação se encaixa perfeitamente nessa estrutura. Aqui, corresponde a , o que nos ajuda a identificar o valor de .

Passo 5

Identificamos então que a equação é de um paraboloide circular. Esse tipo de superfície é gerado pela movimentação de uma parábola ao redor de seu eixo de simetria. No nosso caso, o eixo é o eixo .

Passo 6

Para visualizar isso, podemos usar o GeoGebra. Basta inserir a equação no campo de entrada do aplicativo, e ele irá gerar o gráfico do paraboloide circular. Você verá uma superfície em forma de “tigela” invertida, que se abre para cima ao longo do eixo .

Resposta

A equação já está na forma canônica de um paraboloide circular.

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Reduzir, se necessário, cada uma das equações à forma canônica, identificar e construir o gráfico da quádrica que ela representa utilizando o GeoGebra (ou qualquer outro aplicativo de preferência): (superfície esférica)
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Determine as coordenadas do vértice .