Reduzir, se necessário, cada uma das equações à forma canônica, identificar e construir o gráfico da quádrica que ela representa utilizando o GeoGebra (ou qualquer outro aplicativo de preferência): (cone)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para reduzir a equação à forma canônica, identificar que tipo de quádricas ela representa e construir o gráfico usando um aplicativo como o GeoGebra. Vamos usar conceitos de Geometria Analítica para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a forma canônica de uma equação de segunda grau. A forma canônica facilita a identificação do tipo de quádricas (como elipses, hipérboles, cones, etc.) e suas características principais.
A equação que temos é:
Já está quase na forma canônica, mas vamos reorganizar para facilitar a identificação.

Passo 3

Vamos reescrever a equação para igualar a zero:
Agora, observamos que temos termos quadráticos em , e com sinais diferentes. A equação geral das quádricas é:
No nosso caso, temos , , , e os demais coeficientes são zero.

Passo 4

Com base nesses coeficientes, identificamos que a quádricas representa um cone. Isso porque a equação descreve um cone de revolução com vértice na origem e eixo alinhado com o eixo .

Passo 5

Agora, para construir o gráfico dessa quádricas no GeoGebra (ou outro aplicativo similar), siga esses passos:
  1. Abra o GeoGebra e selecione a opção de 3D Gráfico.
  2. Insira a equação na caixa de entrada.
  3. O aplicativo irá gerar automaticamente o gráfico do cone.

Resposta

A equação já está na forma canônica de um cone. O gráfico representa um cone de revolução com vértice na origem e eixo alinhado ao eixo . Você pode visualizar este cone utilizando o GeoGebra inserindo a própria equação no ambiente 3D do aplicativo.

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Considere o paralelogramo , o ponto em que as diagonais e se cruzam, e os pontos e que dividem em 3 partes iguais, com entre os pontos e .
Para os itens a seguir, assuma que: e .
Determine as coordenadas do vértice .
Para que valor de os pontos e são coplanares?