Considere o paralelogramo , o ponto em que as diagonais e se cruzam, e os pontos e que dividem em 3 partes iguais, com entre os pontos e . Para os itens a seguir, assuma que: e . Determine a área do triângulo .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um paralelogramo , com os vértices , e o vetor fornecidos. Precisamos encontrar a área do triângulo , onde divide a diagonal em três partes iguais. Para resolver isso, vamos usar noções de geometria analítica, como coordenadas de pontos e cálculo de áreas usando vetores.

Passo 2

Vamos começar encontrando as coordenadas dos pontos e . Já que elas são fornecidas: - - Como e dividem em três partes iguais, precisamos determinar as coordenadas de .

Passo 3

Para encontrar as coordenadas de , vamos dividir o segmento em três partes iguais. Isso significa que a posição de está a dois terços do caminho de até . A fórmula para encontrar um ponto que divide um segmento de forma interna na razão é: Aqui, (porque está a dois terços de até ). Substituindo:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar as coordenadas do ponto . Sabemos que em um paralelogramo, as diagonais se bissetam. Portanto, o ponto (ponto de interseção das diagonais) é o ponto médio de e também de . Primeiro, encontramos as coordenadas de , o ponto médio de : Sabemos que e que é o ponto médio de . Então, podemos encontrar as coordenadas de e . Se é o ponto médio, então: E como , temos o sistema: Resolvendo para : Da equação e , somando as duas: Da equação e , somando as duas: Da equação e , somando as duas: Então, as coordenadas de são .

Passo 5

Agora que temos as coordenadas de , e , podemos calcular a área do triângulo . Para isso, vamos usar a fórmula da área de um triângulo no espaço usando o produto vetorial. A fórmula é: Á Onde: - é o vetor que vai de para . - é o vetor que vai de para . - denota o produto vetorial. - representa a magnitude do vetor. Primeiro, encontramos os vetores e :

Passo 6

Agora, calculamos o produto vetorial : A magnitude desse vetor é:

Resposta

A área do triângulo é: Á

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