Considere o paralelogramo , o ponto em que as diagonais e se cruzam, e os pontos e que dividem em 3 partes iguais, com entre os pontos e .
Para os itens a seguir, assuma que: e .
Determine a área do triângulo .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um paralelogramo , com os vértices , e o vetor fornecidos. Precisamos encontrar a área do triângulo , onde divide a diagonal em três partes iguais. Para resolver isso, vamos usar noções de geometria analítica, como coordenadas de pontos e cálculo de áreas usando vetores.
Passo 2
Vamos começar encontrando as coordenadas dos pontos e . Já que elas são fornecidas:
-
-
Como e dividem em três partes iguais, precisamos determinar as coordenadas de .
Passo 3
Para encontrar as coordenadas de , vamos dividir o segmento em três partes iguais. Isso significa que a posição de está a dois terços do caminho de até .
A fórmula para encontrar um ponto que divide um segmento de forma interna na razão é:
Aqui, (porque está a dois terços de até ).
Substituindo:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar as coordenadas do ponto . Sabemos que em um paralelogramo, as diagonais se bissetam. Portanto, o ponto (ponto de interseção das diagonais) é o ponto médio de e também de .
Primeiro, encontramos as coordenadas de , o ponto médio de :
Sabemos que e que é o ponto médio de . Então, podemos encontrar as coordenadas de e .
Se é o ponto médio, então:
E como , temos o sistema:
Resolvendo para :
Da equação e , somando as duas:
Da equação e , somando as duas:
Da equação e , somando as duas:
Então, as coordenadas de são .
Passo 5
Agora que temos as coordenadas de , e , podemos calcular a área do triângulo . Para isso, vamos usar a fórmula da área de um triângulo no espaço usando o produto vetorial.
A fórmula é:
Á
Onde:
- é o vetor que vai de para .
- é o vetor que vai de para .
- denota o produto vetorial.
- representa a magnitude do vetor.
Primeiro, encontramos os vetores e :
Passo 6
Agora, calculamos o produto vetorial :
A magnitude desse vetor é: