Considere o paralelogramo , o ponto em que as diagonais e se cruzam, e os pontos e que dividem em 3 partes iguais, com entre os pontos e .
Para os itens a seguir, assuma que: e .
Determine a área do triângulo A B N.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um paralelogramo ABCD, com os vértices A, C e o vetor BD fornecidos. Precisamos encontrar a área do triângulo ABN, onde N divide a diagonal AC em três partes iguais. Para resolver isso, vamos usar noções de geometria analítica, como coordenadas de pontos e cálculo de áreas usando vetores.
Passo 2
Vamos começar encontrando as coordenadas dos pontos A e C. Já que elas são fornecidas:
A = (-2, 0, 1)
C = (4, -6, 1)
Como M e N dividem AC em três partes iguais, precisamos determinar as coordenadas de N.
Passo 3
Para encontrar as coordenadas de N, vamos dividir o segmento AC em três partes iguais. Isso significa que a posição de N está a dois terços do caminho de A até C.
A fórmula para encontrar um ponto que divide um segmento de forma interna na razão k:1 é:
N = ( k cdot x2 + x1k + 1, k cdot y2 + y1k + 1, k cdot z2 + z1k + 1 )
Aqui, k = 2 (porque N está a dois terços de A até C).
Agora, precisamos encontrar as coordenadas do ponto B. Sabemos que em um paralelogramo, as diagonais se bissetam. Portanto, o ponto P (ponto de interseção das diagonais) é o ponto médio de AC e também de BD.
Primeiro, encontramos as coordenadas de P, o ponto médio de AC:
P = ( -2 + 42, 0 + (-6)2, 1 + 12 ) = (1, -3, 1)
Sabemos que BD = (2, -4, 2) e que P é o ponto médio de BD. Então, podemos encontrar as coordenadas de B e D.
Se P é o ponto médio, então:
P = B + D2 implies B + D = 2P = (2, -6, 2)
E como BD = D - B = (2, -4, 2), temos o sistema:
Bx + Dx = 2 By + Dy = -6 Bz + Dz = 2 Dx - Bx = 2 Dy - By = -4 Dz - Bz = 2
Resolvendo para B:
Da equação Dx - Bx = 2 e Bx + Dx = 2, somando as duas:
2Dx = 4 implies Dx = 2 implies Bx = 0
Da equação Dy - By = -4 e By + Dy = -6, somando as duas:
2Dy = -10 implies Dy = -5 implies By = -1
Da equação Dz - Bz = 2 e Bz + Dz = 2, somando as duas:
2Dz = 4 implies Dz = 2 implies Bz = 0
Então, as coordenadas de B são (0, -1, 0).
Passo 5
Agora que temos as coordenadas de A, B e N, podemos calcular a área do triângulo ABN. Para isso, vamos usar a fórmula da área de um triângulo no espaço usando o produto vetorial.
A fórmula é:
Área = 12 | AB times AN | Á
Onde:
AB é o vetor que vai de A para B.
AN é o vetor que vai de A para N.
times denota o produto vetorial.
| cdot | representa a magnitude do vetor.
Primeiro, encontramos os vetores AB e AN:
AB = B - A = (0 - (-2), -1 - 0, 0 - 1) = (2, -1, -1)
AN = N - A = (2 - (-2), -4 - 0, 1 - 1) = (4, -4, 0)
Passo 6
Agora, calculamos o produto vetorial AB times AN:
AB times AN = i & j & k 2 & -1 & -1 4 & -4 & 0 = i( (-1)(0) - (-1)(-4) ) - j( 2 cdot 0 - (-1) cdot 4 ) + k( 2 cdot (-4) - (-1) cdot 4 )
= i(0 - 4) - j(0 + 4) + k(-8 + 4)
= -4i -4j -4k
A magnitude desse vetor é:
| AB times AN | = raiz(-4)^2 + (-4)^2 + (-4)^2 = raiz16 + 16 + 16 = raiz48 = 4raiz3