Seja o operador
dado por
. Verifique se
é linear.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um operador
definido por
. Precisamos verificar se esse operador é realmente linear. Para isso, vamos usar os critérios de linearidade e ver se
satisfaz as duas propriedades fundamentais da linearidade.
Passo 2
Uma função
é linear se ela satisfaz duas propriedades principais:
-
Aditividade: Para quaisquer vetores
, a função deve satisfazer . -
Homogeneidade: Para qualquer escalar
e vetor , deve-se ter .
Vamos verificar essas duas propriedades para o operador
.
Passo 3
Primeiro, vamos verificar a aditividade. Seja
e
. Então:
Aplicando
nessa soma:
Agora, vamos calcular
:
Comparando as duas expressões, vemos que:
Portanto, a propriedade de aditividade está satisfeita.
Passo 4
Agora, vamos verificar a homogeneidade. Seja
um escalar e
. Então:
Aplicando
a
:
Assim, a propriedade de homogeneidade também está satisfeita.
Resposta
Como o operador
satisfaz as propriedades de aditividade e homogeneidade, concluímos que
é linear.