Seja o operador T: R^3 R^3 dado por T(x, y, z)=(2 x, 3 x, z-2 y). Verifique se T é linear.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um operador definido por . Precisamos verificar se esse operador é realmente linear. Para isso, vamos usar os critérios de linearidade e ver se satisfaz as duas propriedades fundamentais da linearidade.

Passo 2

Uma função é linear se ela satisfaz duas propriedades principais:
  1. Aditividade: Para quaisquer vetores , a função deve satisfazer .
  2. Homogeneidade: Para qualquer escalar e vetor , deve-se ter .
Vamos verificar essas duas propriedades para o operador .

Passo 3

Primeiro, vamos verificar a aditividade. Seja u + v = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) e T(u + v) = T(x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) = (2(x1 + x2), 3(x1 + x2), (z1 + z2) - 2(y1 + y2)) . Então:
T(u) = (2x1, 3x1, z1 - 2y1) T(v) = (2x2, 3x2, z2 - 2y2) T(u) + T(v) = (2x1 + 2x2, 3x1 + 3x2, (z1 - 2y1) + (z2 - 2y2))
Aplicando T(u + v) = T(u) + T(v) nessa soma:
Agora, vamos calcular :
Comparando as duas expressões, vemos que:
Portanto, a propriedade de aditividade está satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos verificar a homogeneidade. Seja cu = (c x, c y, c z) um escalar e T(cu) = T(c x, c y, c z) = (2(c x), 3(c x), c z - 2(c y)) = (c cdot 2x, c cdot 3x, c(z - 2y)) = c cdot (2x, 3x, z - 2y) = cT(u) . Então:
Aplicando a :
Assim, a propriedade de homogeneidade também está satisfeita.

Resposta

Como o operador satisfaz as propriedades de aditividade e homogeneidade, concluímos que é linear.

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