Seja o operador dado por . Determine uma base para .
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um operador linear definido por . O objetivo aqui é encontrar uma base para a imagem de , que é o conjunto de todos os vetores que podemos obter aplicando a quaisquer vetores de .
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de transformação linear, imagem de uma transformação e bases de espaços vetoriais. Vamos passo a passo para não complicar!
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a transformação de uma forma que facilite a visualização das componentes lineares. Podemos expressar como uma combinação linear das variáveis , e :
Aqui, cada termo multiplica uma variável por um vetor, mostrando como cada componente afeta a saída.
Passo 3
Agora, queremos encontrar a imagem de , que é o conjunto de todas as combinações possíveis dos vetores que multiplicam as variáveis. Observando a expressão acima, vemos que a imagem é gerada pelos vetores:
Nosso próximo passo é determinar se esses vetores são linearmente independentes e, portanto, formam uma base, ou se podemos reduzir esse conjunto a um conjunto menor de vetores independentes.
Passo 4
Vamos verificar a independência linear dos vetores:
Perceba que o terceiro vetor é um múltiplo do segundo vetor , já que . Isso significa que o terceiro vetor não adiciona nenhuma nova direção à imagem, então podemos descartá-lo.
Passo 5
Agora, restam apenas dois vetores que são:
Vamos verificar se esses dois vetores são linearmente independentes. Para isso, supomos que existe uma combinação linear que dá o vetor nulo:
Isso resulta nas equações:
Da primeira equação, . Da terceira, . Portanto, os vetores são linearmente independentes.
Passo 6
Como os dois vetores são linearmente independentes e geram a imagem de , eles formam uma base para . Assim, uma base para a imagem de é composta por esses dois vetores.