Seja o operador T: R^3 R^3 dado por T(x, y, z)=(2 x, 3 x, z-2 y). Determine uma base para Im(T).

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um operador linear definido por . O objetivo aqui é encontrar uma base para a imagem de , que é o conjunto de todos os vetores que podemos obter aplicando a quaisquer vetores de .
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de transformação linear, imagem de uma transformação e bases de espaços vetoriais. Vamos passo a passo para não complicar!

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a transformação T(x, y, z) = x cdot (2, 3, 0) + y cdot (0, 0, -2) + z cdot (0, 0, 1) de uma forma que facilite a visualização das componentes lineares. Podemos expressar como uma combinação linear das variáveis , e :
Aqui, cada termo multiplica uma variável por um vetor, mostrando como cada componente afeta a saída.

Passo 3

Agora, queremos encontrar a imagem de 2 3 0 , 0 0 -2 , 0 0 1 , que é o conjunto de todas as combinações possíveis dos vetores que multiplicam as variáveis. Observando a expressão acima, vemos que a imagem é gerada pelos vetores:
Nosso próximo passo é determinar se esses vetores são linearmente independentes e, portanto, formam uma base, ou se podemos reduzir esse conjunto a um conjunto menor de vetores independentes.

Passo 4

Vamos verificar a independência linear dos vetores:
2 3 0 , 0 0 -2 , 0 0 1
Perceba que o terceiro vetor 0 0 1 é um múltiplo do segundo vetor 0 0 -2 , já que 0 0 1 . Isso significa que o terceiro vetor não adiciona nenhuma nova direção à imagem, então podemos descartá-lo.

Passo 5

Agora, restam apenas dois vetores que são:
2 3 0 e 0 0 -2
Vamos verificar se esses dois vetores são linearmente independentes. Para isso, supomos que existe uma combinação linear que dá o vetor nulo:
a 2 3 0 + b 0 0 -2 = 0 0 0
Isso resulta nas equações:
2a = 0 3a = 0 -2b = 0
Da primeira equação, . Da terceira, . Portanto, os vetores são linearmente independentes.

Passo 6

Como os dois vetores são linearmente independentes e geram a imagem de , eles formam uma base para . Assim, uma base para a imagem de é composta por esses dois vetores.

Resposta

Uma base para 2 3 0 é formada pelos vetores 0 0 -2 e .

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