Verifique se os seguintes subconjuntos são subespaços vetoriais com as operações usuais do ambiente. Justifique suas respostas: h) ;
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente precisa verificar se o conjunto é um subespaço vetorial do espaço . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear sobre subespaços vetoriais e ver se W satisfaz as propriedades necessárias.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se o zero vetorial está em W. O zero vetorial em é . Substituindo na equação:
Isso significa que está em W. Então, W passa na primeira verificação.
Passo 3
Agora, vamos checar se W é fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos dois vetores quaisquer de W, a soma deles também deve estar em W.
Sejam e pertencentes a W. Então:
Somando os vetores:
Verificando a condição:
Então, a soma também está em W. Portanto, W é fechado sob adição.
Passo 4
Por último, vamos verificar se W é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que se pegarmos qualquer vetor de W e multiplicarmos por um número real qualquer, o resultado também deve estar em W.
Seja em W e um escalar real. Então:
Multiplicando por :
Verificando a condição:
Assim, também está em W. Logo, W é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Como W contém o vetor zero, é fechado sob adição e é fechado sob multiplicação por escalar, podemos concluir que é um subespaço vetorial de .