Verifique se os seguintes subconjuntos são subespaços vetoriais com as operações usuais do ambiente. Justifique suas respostas: h) W=(x, y, z, w) in R^4 ; x+y+z+w=0;

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente precisa verificar se o conjunto é um subespaço vetorial do espaço . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear sobre subespaços vetoriais e ver se W satisfaz as propriedades necessárias.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se o zero vetorial está em W. O zero vetorial em 0 + 0 + 0 + 0 = 0 é . Substituindo na equação:
Isso significa que está em W. Então, W passa na primeira verificação.

Passo 3

Agora, vamos checar se W é fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos dois vetores quaisquer de W, a soma deles também deve estar em W.
Sejam x1 + y1 + z1 + w1 = 0 x2 + y2 + z2 + w2 = 0 e u + v = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2, w1 + w2) pertencentes a W. Então:
(x1 + x2) + (y1 + y2) + (z1 + z2) + (w1 + w2) = (x1 + y1 + z1 + w1) + (x2 + y2 + z2 + w2) = 0 + 0 = 0
Somando os vetores:
Verificando a condição:
Então, a soma também está em W. Portanto, W é fechado sob adição.

Passo 4

Por último, vamos verificar se W é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que se pegarmos qualquer vetor de W e multiplicarmos por um número real qualquer, o resultado também deve estar em W.
Seja x + y + z + w = 0 em W e c cdot u = (c x, c y, c z, c w) um escalar real. Então:
c x + c y + c z + c w = c (x + y + z + w) = c cdot 0 = 0
Multiplicando por :
Verificando a condição:
Assim, também está em W. Logo, W é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Como W contém o vetor zero, é fechado sob adição e é fechado sob multiplicação por escalar, podemos concluir que é um subespaço vetorial de .

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