Obtenha a interseção entre as retas abaixo:
(b) r: X=(3,-1,2)+lambda(-2,3,1)
s: X=(9,-10,-1)+mu(4,-6,-2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra encontrar a interseção entre duas retas no espaço. A matéria que vamos usar aqui é Geometria Analítica, especificamente o estudo de retas no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar das equações paramétricas das duas retas e resolver um sistema de equações para ver se elas se cruzam em algum ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as equações paramétricas das duas retas. A reta X = (3, -1, 2) + lambda (-2, 3, 1) é dada por:
x = 3 - 2lambda y = -1 + 3lambda z = 2 + lambda
Então, as equações paramétricas ficam:

Passo 3

Agora, a reta X = (9, -10, -1) + mu (4, -6, -2) é:
x = 9 + 4mu y = -10 - 6mu z = -1 - 2mu
E as equações paramétricas são:

Passo 4

Para encontrar a interseção, precisamos que as coordenadas 3 - 2lambda = 9 + 4mu (1) -1 + 3lambda = -10 - 6mu (2) 2 + lambda = -1 - 2mu (3) , e sejam iguais para algum e . Então, vamos igualar as equações correspondentes:

Passo 5

Vamos resolver a Equação (3) para 2 + lambda = -1 - 2mu lambda = -3 - 2mu :
3 - 2(-3 - 2mu) = 9 + 4mu 3 + 6 + 4mu = 9 + 4mu 9 + 4mu = 9 + 4mu
Agora substituímos na Equação (1):
Isso nos mostra que a equação é sempre verdadeira, ou seja, não nos dá mais informações.

Passo 6

Vamos verificar a Equação (2) com -1 + 3(-3 - 2mu) = -10 - 6mu -1 - 9 - 6mu = -10 - 6mu -10 - 6mu = -10 - 6mu :
Mais uma vez, a equação é sempre verdadeira.

Passo 7

Como todas as equações se confirmam independentemente dos valores de e , isso indica que as duas retas são coincidentes, ou seja, elas são a mesma reta no espaço.

Resposta

As retas e coincidem, ou seja, elas são a mesma reta e possuem infinitos pontos em comum.

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