Considere o paralelogramo de vértices A=(1 ; 1) ; B=(4 ; 3) ; C=(5 ; 4) e D. Encontre a equação da reta r que passa por D e é paralela à diagonal de A B C D que não passa por D.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um paralelogramo com vértices em A=(1, 1), B=(4, 3), C=(5, 4) e D. O que a questão quer é que a gente encontre a equação da reta r que passa por D e que é paralela à uma das diagonais do paralelogramo que não passa por D. Para isso, vamos precisar entender conceitos de paralelogramo, encontrar as coordenadas de D e trabalhar com equações de retas paralelas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as coordenadas do ponto D. Num paralelogramo, os vetores dos lados opostos são iguais. Isso significa que AB = DC. Vamos calcular AB:
AB = (Bx - Ax, By - Ay) = (4 - 1, 3 - 1) = (3, 2)
Agora, sabemos que DC = AB, então:
Dx = Cx - 3 = 5 - 3 = 2
Dy = Cy - 2 = 4 - 2 = 2
Portanto, o ponto D é (2, 2).

Passo 3

Agora, vamos identificar qual das diagonais não passa por D. As duas diagonais de um paralelogramo são AC e BD. Já que D está no BD, a diagonal que não passa por D é AC. Então, precisamos encontrar a reta que é paralela a AC e que passa por D.

Passo 4

Vamos encontrar a inclinação (coeficiente angular) da diagonal AC. A fórmula para o coeficiente angular entre dois pontos (x1, y1) e (x2, y2) é:
m = y2 - y1x2 - x1
Aplicando para A(1, 1) e C(5, 4):
mAC = 4 - 15 - 1 = 34
Agora, queremos uma reta que passa por D(2, 2) e tem o mesmo coeficiente angular m = 34.

Passo 5

Usamos a fórmula da equação da reta que passa por um ponto (x0, y0) com inclinação m:
y - y0 = m(x - x0)
Substituindo m = 34 e (x0, y0) = (2, 2):
y - 2 = 34(x - 2)

Passo 6

Vamos deixar a equação mais limpa. Distribuindo o 34:
y - 2 = 34x - 32
Agora, somamos 2 aos dois lados:
y = 34x - 32 + 2
y = 34x + 12

Resposta

A equação da reta r que passa por D e é paralela à diagonal AC é:
y = 34x + 12

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