Verifique se os vetores abaixo sâo ou nâo combinações lineares de
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente verificar se o vetor
pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores
e
. Isso está dentro do conteúdo de Álgebra Linear, mais especificamente sobre combinações lineares de vetores. Para resolver, precisamos descobrir se existem números (chamados de escalares) que, multiplicados por
e
, somam exatamente o vetor que queremos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma combinação linear. Dizemos que um vetor
é uma combinação linear de
e
se conseguimos encontrar escalares
e
tais que:
No nosso caso, queremos ver se existe
e
que satisfaçam:
Passo 3
Vamos expandir essa equação para cada componente do vetor:
-
Componente 1 (x):
-
Componente 2 (y):
-
Componente 3 (z):
Agora temos um sistema de três equações com duas incógnitas (
e
).
Passo 4
Vamos resolver o sistema passo a passo.
Primeira Equação:
Segunda Equação:
Sabendo que :
Sabendo que
Terceira Equação:
Vamos verificar se esses valores de e
satisfazem a terceira equação:
Vamos verificar se esses valores de
Mas queremos que seja igual a
, então:
Passo 5
O que aconteceu? Obtivemos um resultado diferente na terceira equação (
), o que significa que não existe um par de escalares
e
que satisfaça todas as três equações ao mesmo tempo. Portanto, o vetor
não é uma combinação linear dos vetores
e
.
Resposta
O vetor
não é uma combinação linear de
e
.