Verifique se os vetores abaixo sâo ou nâo combinações lineares de v=(12,14,1) e w= (0,2,-3). (12,0,-20)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente verificar se o vetor (12, 0, -20) pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores v = (12, 14, 1) e w = (0, 2, -3). Isso está dentro do conteúdo de Álgebra Linear, mais especificamente sobre combinações lineares de vetores. Para resolver, precisamos descobrir se existem números (chamados de escalares) que, multiplicados por v e w, somam exatamente o vetor que queremos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma combinação linear. Dizemos que um vetor u é uma combinação linear de v e w se conseguimos encontrar escalares a e b tais que:
a cdot v + b cdot w = u
No nosso caso, queremos ver se existe a e b que satisfaçam:
a cdot (12, 14, 1) + b cdot (0, 2, -3) = (12, 0, -20)

Passo 3

Vamos expandir essa equação para cada componente do vetor:
  1. Componente 1 (x):
    12a + 0b = 12
  2. Componente 2 (y):
    14a + 2b = 0
  3. Componente 3 (z):
    1a - 3b = -20
Agora temos um sistema de três equações com duas incógnitas ( a e b).

Passo 4

Vamos resolver o sistema passo a passo.
Primeira Equação:
12a = 12 implies a = 1
Segunda Equação:
Sabendo que a = 1:
14(1) + 2b = 0 14 + 2b = 0 2b = -14 b = -7
Terceira Equação:
Vamos verificar se esses valores de a e b satisfazem a terceira equação:
1(1) - 3(-7) = 1 + 21 = 22
Mas queremos que seja igual a -20, então:
22 neq -20

Passo 5

O que aconteceu? Obtivemos um resultado diferente na terceira equação ( 22 neq -20), o que significa que não existe um par de escalares a e b que satisfaça todas as três equações ao mesmo tempo. Portanto, o vetor (12, 0, -20) não é uma combinação linear dos vetores v e w.

Resposta

O vetor (12, 0, -20) não é uma combinação linear de v = (12, 14, 1) e w = (0, 2, -3).

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