Mostre que se v1, v2, ldots, vn formam uma base de V então todo vetor de V pode ser escrito como combinação linear dessa base de uma única maneira.

Passo 1

Beleza, vamos por partes! O enunciado está dizendo que se temos uma base de um espaço vetorial , então qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores base de uma única maneira. Isso está relacionado com os conceitos de base, combinação linear e unicidade na Álgebra Linear. Vamos usar essas ideias para provar isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma base de um espaço vetorial. Uma base é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço vetorial. Isso significa que qualquer vetor no espaço pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores base.

Passo 3

Agora, o que é uma combinação linear? É basicamente uma soma de múltiplos dos vetores da base. Ou seja, se v = a1v1 + a2v2 + ldots + anvn é um vetor em , então existe escalares tais que:

Passo 4

A próxima coisa que precisamos entender é a unicidade dessa combinação linear. Queremos mostrar que esses escalares são únicos. Ou seja, não há outra maneira de escrever como combinação linear dos mesmos vetores base.

Passo 5

Vamos supor que existam dois conjuntos de escalares que fazem essa combinação funcionar:
v = a1v1 + a2v2 + ldots + anvn
v = b1v1 + b2v2 + ldots + bnvn

Passo 6

Se subtrairmos essas duas equações, temos:
0 = (a1 - b1)v1 + (a2 - b2)v2 + ldots + (an - bn)vn

Passo 7

Como os vetores a1 - b1 = 0, a2 - b2 = 0, ldots, an - bn = 0 são linearmente independentes (porque formam uma base), a única solução para essa equação acima é que todos os coeficientes sejam zero:

Passo 8

Isso significa que , , e assim por diante, até . Portanto, a combinação linear que representa o vetor é única.

Resposta

Concluímos que, se formam uma base de , então todo vetor em pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores base de maneira única.

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