Mostre que se
formam uma base de
então todo vetor de
pode ser escrito como combinação linear dessa base de uma única maneira.
Passo 1
Beleza, vamos por partes! O enunciado está dizendo que se temos uma base
de um espaço vetorial
, então qualquer vetor em
pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores base de uma única maneira. Isso está relacionado com os conceitos de base, combinação linear e unicidade na Álgebra Linear. Vamos usar essas ideias para provar isso passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma base de um espaço vetorial. Uma base é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço vetorial. Isso significa que qualquer vetor no espaço pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores base.
Passo 3
Agora, o que é uma combinação linear? É basicamente uma soma de múltiplos dos vetores da base. Ou seja, se
é um vetor em
, então existe escalares
tais que:
Passo 4
A próxima coisa que precisamos entender é a unicidade dessa combinação linear. Queremos mostrar que esses escalares
são únicos. Ou seja, não há outra maneira de escrever
como combinação linear dos mesmos vetores base.
Passo 5
Vamos supor que existam dois conjuntos de escalares que fazem essa combinação funcionar:
Passo 6
Se subtrairmos essas duas equações, temos:
Passo 7
Como os vetores
são linearmente independentes (porque formam uma base), a única solução para essa equação acima é que todos os coeficientes sejam zero:
Passo 8
Isso significa que
,
, e assim por diante, até
. Portanto, a combinação linear que representa o vetor
é única.
Resposta
Concluímos que, se
formam uma base de
, então todo vetor em
pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores base de maneira única.