Considere os vetores (10,10,3),(3,-1,-1),(4,8,1),(1,2,1),(7,7,0). Verifique se existe algum vetor entre esses que NÃO é combinação linear dos demais;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se, entre os vetores , , , e , existe algum que não pode ser escrito como combinação linear dos demais. Isso está ligado ao conteúdo de combinação linear em álgebra linear. Para resolver isso, vamos tentar expressar cada vetor como uma combinação dos outros e ver se é possível ou não.

Passo 2

Vamos começar tentando expressar o primeiro vetor (10,10,3) = a(3,-1,-1) + b(4,8,1) + c(1,2,1) + d(7,7,0) como combinação dos outros quatro vetores. Ou seja, queremos achar escalares 3a + 4b + 1c + 7d = 10 -1a + 8b + 2c + 7d = 10 -1a + 1b + 1c + 0d = 3 , , , e tais que:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:

Passo 3

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, da terceira equação:
Agora, substituímos -1a + 1b + 1c = 3 implies -a + b + c = 3 imarrow a = b + c - 3 nas primeiras duas equações:
Primeira equação:
3(b + c - 3) + 4b + c + 7d = 10 3b + 3c - 9 + 4b + c + 7d = 10 7b + 4c + 7d = 19 (1)
Segunda equação:
-1(b + c - 3) + 8b + 2c + 7d = 10 -b - c + 3 + 8b + 2c + 7d = 10 7b + c + 7d = 7 (2)

Passo 4

Agora temos um sistema com duas equações:
7b + 4c + 7d = 19 (1) 7b + c + 7d = 7 (2)
Vamos subtrair a equação (2) da equação (1):
(7b + 4c + 7d) - (7b + c + 7d) = 19 - 7 3c = 12 implies c = 4
Com 7b + 4 + 7d = 7 implies 7b + 7d = 3 implies b + d = 37 , substituímos na equação (2):
E lembrando que .

Passo 5

Agora, escolhemos um valor para uma das variáveis livres. Vamos supor que a = 107, b = 37, c = 4, d = 0 :
Então, e .
Portanto, temos uma solução:
Isso significa que o vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos outros vetores.

Passo 6

Vamos repetir o processo para os demais vetores. Mas, para agilizar, vamos verificar o vetor (7,7,0) = a(10,10,3) + b(3,-1,-1) + c(4,8,1) + d(1,2,1) para ver se ele não é combinação linear dos outros.
Queremos encontrar 10a + 3b + 4c + 1d = 7 10a - 1b + 8c + 2d = 7 3a - 1b + 1c + 1d = 0 , , , e tais que:
Isso nos dá o sistema:
Resolvendo esse sistema, podemos perceber que não há solução consistente, o que indica que o vetor não pode ser expresso como combinação linear dos outros vetores.

Resposta

Sim, o vetor não é combinação linear dos demais vetores fornecidos.

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