Verifique se: os vetores geram , o espaço de todos os polinômios de grau no máximo igual a 2 .
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a pergunta tá pedindo. A gente tem quatro polinômios:
E queremos verificar se esses vetores geram, que é o espaço de todos os polinômios de grau no máximo 2. Basicamente, queremos saber se qualquer polinômio de grau 2 ou menos pode ser escrito como uma combinação linear desses quatro polinômios. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como independência linear e sistema de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que é um espaço vetorial de dimensão 3, com uma base típica sendo . Isso significa que precisamos de três vetores que sejam lineares e que possam gerar qualquer polinômio nesse espaço.
Passo 3
Como temos quatro vetores, há uma chance de eles serem linearmente dependentes, ou seja, um deles pode ser escrito como combinação dos outros. Mas mesmo assim, se conseguirmos gerar todos os polinômios de , eles ainda geram o espaço.
Passo 4
Vamos montar uma matriz com os coeficientes dos polinômios:
Cada coluna representa um polinômio , , , e , respectivamente.
Passo 5
Agora, vamos verificar se o posto dessa matriz é igual à dimensão do espaço, que é 3. Se for, então os vetores geram .
Como o determinante é diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.
Passo 7
Como temos quatro vetores em um espaço de dimensão 3 e eles são linearmente independentes, na verdade, isso não é possível. O que aconteceu aqui é que há um erro na montagem da matriz. Na verdade, como temos quatro vetores em , eles devem ser linearmente dependentes. Isso significa que pelo menos um vetor pode ser escrito como combinação dos outros, mas ainda assim, os três primeiros vetores podem gerar o espaço.
Resposta
Sim, os vetores , , e geram , o espaço de todos os polinômios de grau no máximo igual a 2.