Considere uma parede plana composta, de grandes dimensões e espessura pequena, constituída de uma camada com espessura L1 de um material com condutividade térmica k1 e difusividade térmica alpha1, e de outra camada (do lado direito) com espessura L2 de um material com condutividade térmica k2 e difusividade térmica alpha2. A superfície direita da parede composta está revestida com um isolante térmico perfeito. Inicialmente, essa parede composta está em equilíbrio térmico com o ar ambiente, que permanece a temperatura Tx. Subitamente, a superfície esquerda da parede composta adquire a temperatura TE, que é mantida constante para t>0. Considerando contato térmico perfeito entre as camadas, formule detalhadamente o problema de transiente térmico nessa parede composta.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma parede composta por duas camadas diferentes: a primeira camada tem espessura $ L_1 $, condutividade térmica $ k_1 $ e difusividade térmica $ \alpha_1 $; a segunda camada tem espessura $ L_2 $, condutividade térmica $ k_2 $ e difusividade térmica $ \alpha_2 $. A superfície direita está com isolamento perfeito, e inicialmente a parede está na mesma temperatura do ambiente, $ T_x $. De repente, a superfície esquerda é aquecida para uma temperatura constante $ T_E $ a partir de $ t > 0 $.
Para resolver isso, vamos precisar entender a equação da condução de calor em regime transitório, aplicar as condições de contorno e as condições na interface entre as duas camadas. Isso envolve usar a equação de difusão de calor para cada camada e garantir que a temperatura e o fluxo de calor sejam contínuos na interface.

Passo 2

Vamos começar definindo a equação da condução de calor em regime transitório para cada camada. A equação geral é:
partial Tpartial t = alpha partial^2 Tpartial x^2
Aqui, $ T $ é a temperatura, $ t $ é o tempo, $ x $ é a posição na parede, e $ \alpha $ é a difusividade térmica do material.
Para a primeira camada (camada 1):
T
Para a segunda camada (camada 2):
t

Passo 3

Agora, vamos estabelecer as condições de contorno.
  1. Na superfície esquerda da parede ($ x = 0 $):
A temperatura é mantida constante em $ T_E $ para $ t > 0 $:
x = 0
  1. Na superfície direita da parede ($ x = L_1 + L_2 $):
Está revestida com um isolante térmico perfeito, o que significa que não há fluxo de calor passando por ali. Matematicamente, isso se traduz em:
TE

Passo 4

Precisamos também definir as condições na interface entre as duas camadas ($ x = L_1 $).
  1. Continuidade da temperatura:
A temperatura deve ser a mesma nas duas camadas na interface:
x = L1
  1. Continuidade do fluxo de calor:
O fluxo de calor que entra na segunda camada deve ser igual ao que sai da primeira camada:
T1(L1, t) = T2(L1, t)

Passo 5

Por fim, vamos estabelecer as condições iniciais. Inicialmente, a parede está em equilíbrio térmico com o ambiente na temperatura $ T_x $:
Tx
T1(x, 0) = Tx, 0 <= x <= L1

Resposta

Assim, o problema de transiente térmico para a parede composta é formulado pelas seguintes equações e condições:
  1. Equações de condução de calor:
partial T1partial t = alpha1 partial^2 T1partial x^2, 0 < x < L1
partial T2partial t = alpha2 partial^2 T2partial x^2, L1 < x < L1 + L2
  1. Condições de contorno:
T1(0, t) = TE
partial T2partial x |x = L1 + L2 = 0
  1. Condições na interface $ x = L_1 $:
x = L1
T1(L1, t) = T2(L1, t)
  1. Condições iniciais:
k1 partial T1partial x |x = L1^- = k2 partial T2partial x |x = L1^+
T1(x, 0) = Tx, 0 <= x <= L1
Essa é a formulação detalhada do problema de transiente térmico para a parede composta descrita no enunciado.

Exercícios relacionados