A distribuição de temperatura através da parede de um grande forno industrial com 40 cm de espessura num dado instante de tempo é dado por:
.Em que
esta e graus Celsius e
em metros, enquanto
e
. Uma resistência elétrica gera calor
na parede e sua área de seção transversal é
e
. Considerando a temperatura do ar dentro do forno
e temperatura do ar ambiente fora do forno
Determine:
Coeficientes de transferência de calor dentro e fora do forno?
Coeficientes de transferência de calor dentro e fora do forno?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um forno industrial grande com uma parede de 40 cm de espessura. A temperatura na parede varia conforme a posição, dada pela função $ T(x) = a + b x + c x^2 $, onde $ a = 1200^\circ C $, $ b = -600^\circ C/m $ e $ c = -180^\circ C/m^2 $. Além disso, temos uma resistência elétrica que gera calor na parede, e algumas propriedades físicas como área, densidade, condutividade térmica e capacidade calorífica específicas. Queremos descobrir os coeficientes de transferência de calor dentro e fora do forno. Para isso, vamos usar conceitos de condução e convecção de calor.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o que é coeficiente de transferência de calor. Ele representa quanta energia térmica é transferida por unidade de área e por diferença de temperatura. Existem dois coeficientes aqui: um para a parte interna do forno ($ h_i
h_e $).
Passo 3
Vamos considerar que o calor gerado pela resistência elétrica ($ Q $) passa pela parede por condução e, nas duas faces da parede, ocorre convecção com os ambientes interno e externo. Isso forma uma espécie de “circuito térmico” onde as resistências térmicas se somam.
Passo 4
A resistência térmica por condução ($ R_{cond} $) é dada por:
onde $ L = 0,40 $ m (espessura da parede), $ k = 1,2 , W/m \cdot K $ (condutividade térmica) e $ A = 20 , m^2 $ (área).
Passo 5
As resistências térmicas por convecção ($ R_{conv} $) para as faces interna e externa são:
onde $ h_i $ e $ h_e $ são os coeficientes que queremos encontrar.
Passo 6
A transferência de calor total ($ Q $) é a mesma através de cada resistência, então podemos escrever:
onde $ T_i = 1400^\circ C $ e $ T_e = 30^\circ C $.
Passo 7
Substituindo as resistências na equação:
Simplificando, temos:
Passo 8
Vamos calcular $ Q $ usando a potência gerada pela resistência elétrica. Primeiro, a potência total gerada é:
Passo 9
Agora, substituímos $ Q = 125000 $ W na equação:
Calculando a parte da condução:
Passo 10
Reescrevendo a equação:
Podemos inverter ambos os lados para facilitar:
Multiplicando ambos os lados por 1370:
Calculando o lado esquerdo:
Então:
Passo 11
Isolando os termos com $ h_i $ e $ h_e $:
Aqui percebemos que houve uma inconsistência, pois a soma das resistências não deveria resultar em um valor negativo. Isso indica que precisamos revisar nossos cálculos.
Passo 12
Vamos reconsiderar a expressão para $ Q
Q_{total} $) deve igualar a transferência de calor, então:
Substituindo os valores:
Calculando $ T_i - T_e = 1370 $ e $ \frac{0,40}{1,2 \cdot 20} = \frac{0,40}{24} \approx 0,0167 $:
Invertendo:
Multiplicando ambos os lados por 1370:
Calculando:
Rearranjando:
Como o resultado ficou negativo novamente, isso indica que houve um erro nos pressupostos ou nos cálculos iniciais.
Passo 13
Vamos revisar o cálculo da potência gerada. A resistência elétrica gera calor por unidade de volume:
Para encontrar a potência total:
Entretanto, precisamos do volume da parede. Como temos a área ($ A = 20 , m^2
L = 0,40 , m $):
Então:
Passo 14
Com o $ Q_{total} = 50000 , W $, refazemos a equação:
Invertendo:
Multiplicando ambos os lados por 1370:
Calculando o lado esquerdo:
Então:
Isolando:
Passo 15
Temos uma equação com duas incógnitas ($ h_i $ e $ h_e $). Para resolver, precisamos de outra relação entre elas. Se não houver mais informações, podemos assumir que os coeficientes são iguais, ou $ h_i = h_e = h $. Vamos seguir essa suposição.
Assim:
Então:
Resposta
Os coeficientes de transferência de calor dentro e fora do forno são aproximadamente $ h_i = h_e \approx 9,35 , W/m^2 \cdot K $.