A distribuição de temperatura através da parede de um grande forno industrial com 40 cm de espessura num dado instante de tempo é dado por: T(x)=a+b x+c x^2.Em que T esta e graus Celsius e x em metros, enquanto a=1200^circ C, b=-600^circ C / m e c=-180 C / m^2. Uma resistência elétrica gera calor Q=6250 W / m^3 na parede e sua área de seção transversal é A=20 m^2 com rho=1600 kg / m^3, k=1,2 W / m cdot K e Cp=1800 J / kg cdot K. Considerando a temperatura do ar dentro do forno Ti=1400^circ C e temperatura do ar ambiente fora do forno Te=30^circ C Determine:
Coeficientes de transferência de calor dentro e fora do forno?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um forno industrial grande com uma parede de 40 cm de espessura. A temperatura na parede varia conforme a posição, dada pela função $ T(x) = a + b x + c x^2 $, onde $ a = 1200^\circ C $, $ b = -600^\circ C/m $ e $ c = -180^\circ C/m^2 $. Além disso, temos uma resistência elétrica que gera calor na parede, e algumas propriedades físicas como área, densidade, condutividade térmica e capacidade calorífica específicas. Queremos descobrir os coeficientes de transferência de calor dentro e fora do forno. Para isso, vamos usar conceitos de condução e convecção de calor.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o que é coeficiente de transferência de calor. Ele representa quanta energia térmica é transferida por unidade de área e por diferença de temperatura. Existem dois coeficientes aqui: um para a parte interna do forno ($ h_i hi h_e $).

Passo 3

Vamos considerar que o calor gerado pela resistência elétrica ($ Q $) passa pela parede por condução e, nas duas faces da parede, ocorre convecção com os ambientes interno e externo. Isso forma uma espécie de “circuito térmico” onde as resistências térmicas se somam.

Passo 4

A resistência térmica por condução ($ R_{cond} $) é dada por:
Rcond
onde $ L = 0,40 $ m (espessura da parede), $ k = 1,2 , W/m \cdot K $ (condutividade térmica) e $ A = 20 , m^2 $ (área).

Passo 5

As resistências térmicas por convecção ($ R_{conv} $) para as faces interna e externa são:
Rconv
onde $ h_i $ e $ h_e $ são os coeficientes que queremos encontrar.

Passo 6

A transferência de calor total ($ Q $) é a mesma através de cada resistência, então podemos escrever:
Q
onde $ T_i = 1400^\circ C $ e $ T_e = 30^\circ C $.

Passo 7

Substituindo as resistências na equação:
Q = 1400 - 301hi A + Lk A + 1he A
Simplificando, temos:
Q = 13701hi cdot 20 + 0,401,2 cdot 20 + 1he cdot 20

Passo 8

Vamos calcular $ Q $ usando a potência gerada pela resistência elétrica. Primeiro, a potência total gerada é:
Q

Passo 9

Agora, substituímos $ Q = 125000 $ W na equação:
Q = 125000
Calculando a parte da condução:
125000 = 1370120 hi + 0,4024 + 120 he

Passo 10

Reescrevendo a equação:
125000 = 1370120 hi + 0,0167 + 120 he
Podemos inverter ambos os lados para facilitar:
1125000 = 120 hi + 0,0167 + 120 he1370
Multiplicando ambos os lados por 1370:
1370125000 = 120 hi + 0,0167 + 120 he
Calculando o lado esquerdo:
1370125000 approx 0,01096
Então:
0,01096 = 120 hi + 0,0167 + 120 he

Passo 11

Isolando os termos com $ h_i $ e $ h_e $:
hi
Aqui percebemos que houve uma inconsistência, pois a soma das resistências não deveria resultar em um valor negativo. Isso indica que precisamos revisar nossos cálculos.

Passo 12

Vamos reconsiderar a expressão para $ Q Q ê Q_{total} $) deve igualar a transferência de calor, então:
Qtotal
Substituindo os valores:
Qtotal = Ti - TeRconvi + Rcond + Rconve
Calculando $ T_i - T_e = 1370 $ e $ \frac{0,40}{1,2 \cdot 20} = \frac{0,40}{24} \approx 0,0167 $:
125000 = 1400 - 301hi cdot 20 + 0,401,2 cdot 20 + 1he cdot 20
Invertendo:
Ti - Te = 1370
Multiplicando ambos os lados por 1370:
0,401,2 cdot 20 = 0,4024 approx 0,0167
Calculando:
125000 = 1370120 hi + 0,0167 + 120 he
Rearranjando:
1125000 = 120 hi + 0,0167 + 120 he1370
Como o resultado ficou negativo novamente, isso indica que houve um erro nos pressupostos ou nos cálculos iniciais.

Passo 13

Vamos revisar o cálculo da potência gerada. A resistência elétrica gera calor por unidade de volume:
Q = 6250 , W/m^3
Para encontrar a potência total:
Qtotal = Q times Volume
Entretanto, precisamos do volume da parede. Como temos a área ($ A = 20 , m^2 A = 20 , m^2 L = 0,40 , m $):
L = 0,40 , m
Então:
Volume = A times L = 20 times 0,40 = 8 , m^3

Passo 14

Com o $ Q_{total} = 50000 , W $, refazemos a equação:
Qtotal = 50000 , W
Invertendo:
50000 = 1370120 hi + 0,0167 + 120 he
Multiplicando ambos os lados por 1370:
150000 = 120 hi + 0,0167 + 120 he1370
Calculando o lado esquerdo:
137050000 = 120 hi + 0,0167 + 120 he
Então:
137050000 = 0,0274
Isolando:
0,0274 = 120 hi + 0,0167 + 120 he

Passo 15

Temos uma equação com duas incógnitas ($ h_i $ e $ h_e $). Para resolver, precisamos de outra relação entre elas. Se não houver mais informações, podemos assumir que os coeficientes são iguais, ou $ h_i = h_e = h $. Vamos seguir essa suposição.
Assim:
hi
Então:
he

Resposta

Os coeficientes de transferência de calor dentro e fora do forno são aproximadamente $ h_i = h_e \approx 9,35 , W/m^2 \cdot K $.

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