Considere uma placa plana de grandes dimensões e espessura pequena, constituída por um material com condutividade térmica e difusividade térmica , que foi aquecida no interior de um forno até atingir temperatura uniforme . No instante de tempo , essa placa é mergulhada num líquido que mantém temperatura constante (reservatório térmico) com coeficiente de transferência de calor por convecção i. Formule detalhadamente o problema de transiente térmico nessa placa.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma placa bem larga e com espessura pequena , feita de um material que conduz calor com condutividade e difusividade térmica . Inicialmente, essa placa tá toda aquecida no forno a uma temperatura uniforme . No instante , a gente mergulha essa placa num líquido que mantém uma temperatura constante e tem um coeficiente de transferência de calor por convecção . Nosso objetivo aqui é formular detalhadamente o problema de transiente térmico dessa placa. Para isso, vamos precisar usar a equação de condução de calor em regime transiente, além de definir as condições iniciais e de contorno.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da equação básica que descreve como o calor se propaga em um material ao longo do tempo. Essa é a equação de condução de calor em regime transiente. Para uma placa plana com grandes dimensões e considerando que a temperatura varia só na direção da espessura (vamos chamar de eixo ), a equação fica assim:
Aqui, é a temperatura, é o tempo, e é a difusividade térmica do material.
Passo 3
Agora, vamos definir a condição inicial, que é a temperatura da placa antes de ela ser mergulhada no líquido. O enunciado diz que inicialmente a placa está na temperatura . Então, para todo ponto na placa, no tempo , a temperatura é:
Passo 4
Em seguida, precisamos estabelecer as condições de contorno, ou seja, como a temperatura se comporta nas superfícies da placa durante o processo de resfriamento.
Vamos considerar que a transferência de calor ocorre apenas na direção da espessura . Assim, temos duas superfícies: uma em e outra em .
Para a superfície em , a placa está sendo mergulhada no líquido com temperatura e coeficiente de transferência de calor por convecção . A condição de contorno aqui é dada pela lei de resfriamento de Newton, que relaciona o fluxo de calor com a diferença de temperatura:
Isso significa que o fluxo de calor na superfície x=0 é proporcional à diferença entre a temperatura da placa nessa superfície e a temperatura do líquido.
Para a superfície em x=L, como a placa tem grandes dimensões e assumimos que não há fluxo de calor nessa direção (ou seja, é uma condição de isolamento térmico), a condição de contorno é:
partial Tpartial xg|x=L = 0
Isso indica que não há variação de temperatura na direção x na superfície x=L.
Passo 5
Resumindo tudo, juntamos a equação de condução de calor com as condições iniciais e de contorno que definimos. Assim, o problema de transiente térmico na placa fica completamente formulado.
Resposta
O problema de transiente térmico na placa é formulado pela seguinte equação diferencial com condições iniciais e de contorno:
partial Tpartial t = alpha partial^2 Tpartial x^2, 0 < x < L, t > 0
T(x, 0) = T0, 0 <= x <= L
- k partial Tpartial xg|x=0 = i ( T(0, t) - Tx ), t > 0