Considere uma parede plana de grandes dimensões e espessura pequena L, constituída por um material com condutividade térmica k e difusividade térmica alpha, cuja superfície direita está revestida por um isolante térmico perfeito. Inicialmente, a parede está em equilibrio térmico com o ambiente, que possui temperatura Tx. Se, no instante t=0, a superfície esquerda adquire subitamente uma temperatura Te, que é mantida constante para t>0, formule detalhadamente o problema de transiente térmico na parede.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma parede fininha com espessura $ L $ e grandes dimensões nas outras direções. Essa parede é feita de um material que tem uma condutividade térmica $ k $ e uma difusividade térmica $ \alpha $. No começo, toda a parede está na mesma temperatura do ambiente, que é $ T_x $. Mas, no instante $ t=0 $, a gente decide mudar a temperatura da superfície esquerda da parede para $ T_e $ e mantém essa temperatura constante a partir daí. A superfície direita está totalmente isolada, ou seja, não troca calor com o ambiente. Nosso objetivo aqui é montar as equações que descrevem como a temperatura na parede muda com o tempo. Vamos usar a matéria de condução de calor transiente para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar da equação da condução de calor para situações transientes, que descreve como a temperatura varia no espaço e no tempo dentro do material. A equação básica é:
partial Tpartial t = alpha partial^2 Tpartial x^2
Aqui, $ T $ é a temperatura, $ t $ é o tempo, $ x $ é a posição na parede, e $ \alpha $ é a difusividade térmica do material. Essa equação nos diz como a temperatura muda com o tempo devido à difusão de calor.

Passo 3

Agora, vamos definir as condições iniciais. No início, toda a parede está na temperatura do ambiente, então para $ t = 0 $:
t = 0
Isso significa que, antes de qualquer mudança, a temperatura é uniforme e igual a $ T_x $ em toda a parede.

Passo 4

Seguinte, as condições de contorno. Temos duas superfícies na parede: a esquerda ($ x = 0 x = 0 x = L $).
  1. Superfície esquerda ($ x = 0 $): A gente estabelece que a temperatura nessa superfície é mantida constante em $ T_e $ para $ t > 0 $:
x = L
  1. Superfície direita ($ x = L $): Essa está revestida por um isolante térmico perfeito, ou seja, não há fluxo de calor através dela. O fluxo de calor é dado pela derivada da temperatura em relação ao espaço. Como não há fluxo, a derivada é zero:
x = 0

Passo 5

Então, juntando tudo, a gente tem que resolver a equação da condução de calor transiente com as condições iniciais e de contorno que definimos. Resumindo:
  • Equação diferencial parcial:
partial Tpartial t = alpha partial^2 Tpartial x^2 para 0 < x < L e t > 0
  • Condição inicial:
T(x, 0) = Tx para 0 <= x <= L
  • Condições de contorno:
T(0, t) = Te e partial Tpartial xg|x=L = 0 para t > 0

Resposta

O problema de transiente térmico na parede é formulado pela equação da condução de calor transiente:
partial Tpartial t = alpha partial^2 Tpartial x^2 para 0 < x < L e t > 0
com a condição inicial:
T(x, 0) = Tx para 0 <= x <= L
e as condições de contorno:
T(0, t) = Te e partial Tpartial xg|x=L = 0 para t > 0

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