Considere uma parede plana de grandes dimensões e espessura pequena
, constituída por um material com condutividade térmica
e difusividade térmica
, cuja superfície direita está revestida por um isolante térmico perfeito. Inicialmente, a parede está em equilibrio térmico com o ambiente, que possui temperatura
. Se, no instante
, a superfície esquerda adquire subitamente uma temperatura
, que é mantida constante para
, formule detalhadamente o problema de transiente térmico na parede.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma parede fininha com espessura $ L $ e grandes dimensões nas outras direções. Essa parede é feita de um material que tem uma condutividade térmica $ k $ e uma difusividade térmica $ \alpha $. No começo, toda a parede está na mesma temperatura do ambiente, que é $ T_x $. Mas, no instante $ t=0 $, a gente decide mudar a temperatura da superfície esquerda da parede para $ T_e $ e mantém essa temperatura constante a partir daí. A superfície direita está totalmente isolada, ou seja, não troca calor com o ambiente. Nosso objetivo aqui é montar as equações que descrevem como a temperatura na parede muda com o tempo. Vamos usar a matéria de condução de calor transiente para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar da equação da condução de calor para situações transientes, que descreve como a temperatura varia no espaço e no tempo dentro do material. A equação básica é:
Aqui, $ T $ é a temperatura, $ t $ é o tempo, $ x $ é a posição na parede, e $ \alpha $ é a difusividade térmica do material. Essa equação nos diz como a temperatura muda com o tempo devido à difusão de calor.
Passo 3
Agora, vamos definir as condições iniciais. No início, toda a parede está na temperatura do ambiente, então para $ t = 0 $:
Isso significa que, antes de qualquer mudança, a temperatura é uniforme e igual a $ T_x $ em toda a parede.
Passo 4
Seguinte, as condições de contorno. Temos duas superfícies na parede: a esquerda ($ x = 0
x = L $).
- Superfície esquerda ($ x = 0 $): A gente estabelece que a temperatura nessa superfície é mantida constante em $ T_e $ para $ t > 0 $:
- Superfície direita ($ x = L $): Essa está revestida por um isolante térmico perfeito, ou seja, não há fluxo de calor através dela. O fluxo de calor é dado pela derivada da temperatura em relação ao espaço. Como não há fluxo, a derivada é zero:
Passo 5
Então, juntando tudo, a gente tem que resolver a equação da condução de calor transiente com as condições iniciais e de contorno que definimos. Resumindo:
- Equação diferencial parcial:
- Condição inicial:
- Condições de contorno:
Resposta
O problema de transiente térmico na parede é formulado pela equação da condução de calor transiente:
com a condição inicial:
e as condições de contorno: