Considere uma parede plana de espessura
, com uma face mantida à temperatura
e a face oposta com temperatura
, constantes, com
. A condutividade térmica do material varia com a temperatura segundo a relação
, onde
e
são constantes. Determine a densidade de fluxo de calor em regime permanente através da parede.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos uma parede com espessura
, uma face a
e a outra a
, onde
. A condutividade térmica depende da temperatura, conforme
. Nosso objetivo é encontrar a densidade de fluxo de calor em regime permanente através da parede. Para isso, vamos usar os conceitos de condução de calor e resolver uma equação diferencial que leva em conta a variação da condutividade térmica.
Passo 2
Primeiro, lembrando que em regime permanente, o fluxo de calor
é constante através da parede. A lei de Fourier para condução de calor nos diz que:
Aqui,
é o gradiente de temperatura e
é a condutividade térmica, que, nesse caso, varia com a temperatura.
Passo 3
Como
é constante, podemos rearranjar a equação para relacionar as variáveis:
Substituindo
pela expressão dada
:
Passo 4
Agora, separamos as variáveis para integrar:
Vamos integrar ambos os lados. Os limites de integração para
vão de
a
e para
de
a
:
Passo 5
Calculando as integrais:
À esquerda:
Avaliado de
a
:
À direita:
Então, temos:
Passo 6
Resolvendo para
:
Como
representa a densidade de fluxo de calor, consideramos o valor absoluto:
Resposta
A densidade de fluxo de calor em regime permanente através da parede é:
Exercícios relacionados
A seção de produção de uma fábrica de plásticos coloca uma folha contínua de plástico de
de largura e
de espessura a uma velocidade de
. A temperatura de folha de plástico é
quando exposta ao ar circundante e a seção de
de comprimento da folha de plástico é submetida ao fluxo de ar a
e a velocidade de
em ambos os lados ao longo de suas superfícies normais à direção do movimento da folha, como mostrado no esquema a seguir. Determine:
a) A taxa de transferência de calor da folha de plástico para o ar por convecção e radiação;
a) A taxa de transferência de calor da folha de plástico para o ar por convecção e radiação;
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?
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, com
e
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