Considere uma parede plana de espessura L, com uma face mantida à temperatura T0 e a face oposta com temperatura TL, constantes, com T0>TL. A condutividade térmica do material varia com a temperatura segundo a relação k=k0+c T, onde k0 e c são constantes. Determine a densidade de fluxo de calor em regime permanente através da parede.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos uma parede com espessura , uma face a e a outra a , onde . A condutividade térmica depende da temperatura, conforme . Nosso objetivo é encontrar a densidade de fluxo de calor em regime permanente através da parede. Para isso, vamos usar os conceitos de condução de calor e resolver uma equação diferencial que leva em conta a variação da condutividade térmica.

Passo 2

Primeiro, lembrando que em regime permanente, o fluxo de calor q = -k dTdx é constante através da parede. A lei de Fourier para condução de calor nos diz que:
Aqui, é o gradiente de temperatura e é a condutividade térmica, que, nesse caso, varia com a temperatura.

Passo 3

Como dTdx = -qk é constante, podemos rearranjar a equação para relacionar as variáveis:
dTdx = -qk0 + cT
Substituindo pela expressão dada :

Passo 4

Agora, separamos as variáveis para integrar:
(k0 + cT) dT = -q dx
Vamos integrar ambos os lados. Os limites de integração para integralTL^T0 (k0 + cT) dT = -q integral0^L dx vão de a e para de a :

Passo 5

Calculando as integrais:
À esquerda:
integral (k0 + cT) dT = k0 T + c2 T^2
Avaliado de k0 (T0 - TL) + c2 (T0^2 - TL^2) a - q L :
k0 (T0 - TL) + c2 (T0^2 - TL^2) = - q L
À direita:
Então, temos:

Passo 6

Resolvendo para q = -k0 (T0 - TL) + c2 (T0^2 - TL^2)L :
q = k0 (T0 - TL) + c2 (T0^2 - TL^2)L
Como representa a densidade de fluxo de calor, consideramos o valor absoluto:

Resposta

A densidade de fluxo de calor em regime permanente através da parede é:
q = , k0 (T0 - TL) + c2 (T0^2 - TL^2) ,, L ,

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