A distribuição de velocidade para o escoamento laminar desenvolvido entre placas paralelas é dada por uumax =1-(2 yh)^2 em que h é a distância separando as placas e a origem está situada na linha mediana entre as placas. Considere um escoamento de água a 15^circ C, com u máx =0,20 m / sá e h=0,2 mm. Calcule a tensão de cisalhamento na placa superior e dê o seu sentido. Esboce a variação da tensão de cisalhamento em uma seção transversal do canal.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de escoamento laminar entre placas paralelas. O enunciado nos dá a distribuição de velocidade e pede para calcular a tensão de cisalhamento na placa superior. Para isso, vamos precisar entender conceitos de mecânica dos fluidos, especificamente a relação entre velocidade e tensão de cisalhamento. Também usaremos fórmulas de derivadas para encontrar a taxa de variação da velocidade em relação à posição.

Passo 2

Primeiro, identificamos a fórmula da distribuição de velocidade:
uumáx = 1 - (2yh)^2 á
Onde:
  • é a velocidade no ponto ,
  • á é a velocidade máxima,
  • é a distância entre as placas.

Passo 3

Para encontrar a tensão de cisalhamento ( tau = mu dudy ), usamos a fórmula:
Onde é a viscosidade dinâmica da água a .

Passo 4

Primeiro, derivamos a expressão de u = umáx [1 - (2yh)^2] em relação a dudy = umáx [ -2 cdot 2h^2 cdot y ] = -4 umáx yh^2 :
á
Derivando:
áá

Passo 5

Na placa superior, dudyg|y=h2 = -4 cdot 0,20 , m/s cdot 0,0002 , m2(0,0002 , m)^2 = -4 cdot 0,20 cdot 0,00010,00000004 = -0,000080,00000004 = -2000 , s^-1 . Substituímos na derivada:

Passo 6

A viscosidade dinâmica da água a é aproximadamente .

Passo 7

Calculamos a tensão de cisalhamento:
tau = mu dudy = 1,14 times 10^-3 , Pa cdot s times (-2000 , s^-1) = -2,28 , Pa
O sinal negativo indica que a tensão de cisalhamento atua no sentido contrário ao movimento da placa.

Resposta

A tensão de cisalhamento na placa superior é de atuando no sentido contrário ao movimento da placa. O esboço da variação da tensão de cisalhamento em uma seção transversal do canal apresenta a tensão máxima na placa superior e inferior, diminuindo linearmente em direção à linha mediana, onde a tensão de cisalhamento é nula.

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