A distribuição de temperatura através da parede de um grande forno industrial com 40 cm de espessura num dado instante de tempo é dado por: T(x)=a+b x+c x^2.Em que T esta e graus Celsius e x em metros, enquanto a=1200^circ C, b=-600^circ C / m e c=-180 C / m^2. Uma resistência elétrica gera calor Q=6250 W / m^3 na parede e sua área de seção transversal é A=20 m^2 com rho=1600 kg / m^3, k=1,2 W / m cdot K e Cp=1800 J / kg cdot K. Considerando a temperatura do ar dentro do forno Ti=1400^circ C e temperatura do ar ambiente fora do forno Te=30^circ C Determine:
Taxa de calor na saída da parede (x=0,4 m) ?

Passo 1

Vamos resumir o que precisa ser feito aqui. Temos uma parede de forno industrial com 40 cm de espessura, e a distribuição de temperatura através dela é dada por uma função quadrática: $ T(x) = a + b x + c x^{2} $. Sabemos os valores de $ a $, $ b $ e $ c $, além de outras propriedades da parede e das condições ambientais. Nosso objetivo é encontrar a taxa de calor na saída da parede, ou seja, em $ x = 0,4 $ metros. Para resolver isso, vamos precisar usar os conceitos de condução de calor e a lei de Fourier.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a distribuição de temperatura $ T(x) = a + b x + c x^{2} $. Aqui, $ T $ está em graus Celsius e $ x $ em metros. Os coeficientes $ a $, $ b $ e $ c $ nos dizem como a temperatura varia ao longo da espessura da parede. Isso é importante porque a taxa de transferência de calor depende de como a temperatura muda com a posição.

Passo 3

Para encontrar a taxa de calor na saída da parede, precisamos calcular o fluxo de calor, que é dado pela derivada da temperatura em relação a $ x $, multiplicada pela condutividade térmica $ k $. A fórmula da lei de Fourier para condução de calor é:
x
Aqui, $ q $ é a taxa de fluxo de calor em W/m².

Passo 4

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função de temperatura $ T(x) $ em relação a $ x $:
T(x)
Substituindo os valores de $ b $ e $ c $:
x

Passo 5

Agora, substituímos essa derivada na fórmula da lei de Fourier:
q = -k (-600 - 360 x) = k (600 + 360 x)
Sabemos que $ k = 1,2 $ W/(m·K), então:
k = 1,2

Passo 6

Queremos a taxa de calor na saída da parede, que está em $ x = 0,4 $ metros. Substituímos $ x = 0,4 $ na equação:
x = 0,4 ²

Resposta

A taxa de calor na saída da parede ($ x = 0,4 $ m) é de aproximadamente 892,8 W/m².

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