A distribuição de temperatura através da parede de um grande forno industrial com 40 cm de espessura num dado instante de tempo é dado por:
.Em que
esta e graus Celsius e
em metros, enquanto
e
. Uma resistência elétrica gera calor
na parede e sua área de seção transversal é
e
. Considerando a temperatura do ar dentro do forno
e temperatura do ar ambiente fora do forno
Determine:
Taxa de calor na saída da parede
?
Taxa de calor na saída da parede
Passo 1
Vamos resumir o que precisa ser feito aqui. Temos uma parede de forno industrial com 40 cm de espessura, e a distribuição de temperatura através dela é dada por uma função quadrática: $ T(x) = a + b x + c x^{2} $. Sabemos os valores de $ a $, $ b $ e $ c $, além de outras propriedades da parede e das condições ambientais. Nosso objetivo é encontrar a taxa de calor na saída da parede, ou seja, em $ x = 0,4 $ metros. Para resolver isso, vamos precisar usar os conceitos de condução de calor e a lei de Fourier.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a distribuição de temperatura $ T(x) = a + b x + c x^{2} $. Aqui, $ T $ está em graus Celsius e $ x $ em metros. Os coeficientes $ a $, $ b $ e $ c $ nos dizem como a temperatura varia ao longo da espessura da parede. Isso é importante porque a taxa de transferência de calor depende de como a temperatura muda com a posição.
Passo 3
Para encontrar a taxa de calor na saída da parede, precisamos calcular o fluxo de calor, que é dado pela derivada da temperatura em relação a $ x $, multiplicada pela condutividade térmica $ k $. A fórmula da lei de Fourier para condução de calor é:
Aqui, $ q $ é a taxa de fluxo de calor em W/m².
Passo 4
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função de temperatura $ T(x) $ em relação a $ x $:
Substituindo os valores de $ b $ e $ c $:
Passo 5
Agora, substituímos essa derivada na fórmula da lei de Fourier:
Sabemos que $ k = 1,2 $ W/(m·K), então:
Passo 6
Queremos a taxa de calor na saída da parede, que está em $ x = 0,4 $ metros. Substituímos $ x = 0,4 $ na equação:
Resposta
A taxa de calor na saída da parede ($ x = 0,4 $ m) é de aproximadamente 892,8 W/m².