Considere uma partícula de carga q e massa m situada num campo magnético uniforme B=B z. Determine
a) A expressão da aceleração vetorial resultante da partícula, nos casos em que:
  1. a partícula possui velocidade v=vx x+vy y. Demonstre qual é a trajetória da partícula (1,0)
    b) A expressão da frequênia de cíclotron. (0,5)
    (Fórmulas úteis: integral cos x d x=sin x+C ; integral sin x d x=-cos x+C )

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente analisar uma partícula com carga e massa que está num campo magnético uniforme . A gente precisa encontrar:
a) A expressão da aceleração vetorial resultante quando a partícula tem uma velocidade , e depois mostrar qual é a trajetória dessa partícula.
b) A expressão da frequência de ciclotron.
Para resolver isso, vamos usar a Lei de Lorentz, que descreve a força sobre uma carga em movimento num campo magnético.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da Lei de Lorentz para a força magnética que age sobre a partícula:
F = q (v times B)
Aqui, é a velocidade da partícula e é o campo magnético. A força resultante vai ser perpendicular tanto à velocidade quanto ao campo magnético.

Passo 3

Como a força m a = q (v times B) é igual à massa a = qm (v times B) vezes a aceleração , ou seja, , podemos escrever:
Para encontrar a aceleração , basta isolar na equação:

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto vetorial v times B = x & y & z vx & vy & 0 0 & 0 & B . Dado que v times B = x(vy cdot B - 0) - y(vx cdot B - 0) + z(0 - 0) e v times B = vy B x - vx B y , temos:
Calculando o determinante:

Passo 5

Substituindo de volta na expressão da aceleração:
a = qm (vy B x - vx B y)
a = q Bm (vy x - vx y)
Essa é a expressão da aceleração vetorial resultante para a partícula.

Passo 6

Agora, para determinar a trajetória da partícula, vamos observar a aceleração. A aceleração está sempre perpendicular à velocidade, o que significa que a partícula está experimentando uma força centrípeta constante, característica de movimentos circulares.
A partir disso, podemos concluir que a trajetória da partícula é uma círculo no plano .

Passo 7

Para encontrar a frequência dessa oscilação circular, conhecida como frequência de ciclotron, vamos relacionar a força centrípeta com a aceleração.
A força centrípeta Fc = m v^2r é dada por:
F = q v B
Mas também sabemos que a força magnética é:
m v^2r = q v B
Igualando as duas expressões:
m vr = q B
v = omega r
A frequência m omega rr = q B está relacionada à velocidade e ao raio por:
omega = q Bm
Substituindo na equação anterior:

Resposta

A frequência de ciclotron é dada por .

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