Considere uma partícula de carga e massa situada num campo magnético uniforme . Determine
a) A expressão da aceleração vetorial resultante da partícula, nos casos em que:
  1. a partícula possui velocidade . Demonstre qual é a trajetória da partícula (1,0)
    b) A expressão da frequênia de cíclotron. (0,5)
    (Fórmulas úteis: )

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente analisar uma partícula com carga e massa que está num campo magnético uniforme . A gente precisa encontrar:
a) A expressão da aceleração vetorial resultante quando a partícula tem uma velocidade , e depois mostrar qual é a trajetória dessa partícula.
b) A expressão da frequência de ciclotron.
Para resolver isso, vamos usar a Lei de Lorentz, que descreve a força sobre uma carga em movimento num campo magnético.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da Lei de Lorentz para a força magnética que age sobre a partícula:
Aqui, é a velocidade da partícula e é o campo magnético. A força resultante vai ser perpendicular tanto à velocidade quanto ao campo magnético.

Passo 3

Como a força é igual à massa vezes a aceleração , ou seja, , podemos escrever:
Para encontrar a aceleração , basta isolar na equação:

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto vetorial . Dado que e , temos:
Calculando o determinante:

Passo 5

Substituindo de volta na expressão da aceleração:
Essa é a expressão da aceleração vetorial resultante para a partícula.

Passo 6

Agora, para determinar a trajetória da partícula, vamos observar a aceleração. A aceleração está sempre perpendicular à velocidade, o que significa que a partícula está experimentando uma força centrípeta constante, característica de movimentos circulares.
A partir disso, podemos concluir que a trajetória da partícula é uma círculo no plano .

Passo 7

Para encontrar a frequência dessa oscilação circular, conhecida como frequência de ciclotron, vamos relacionar a força centrípeta com a aceleração.
A força centrípeta é dada por:
Mas também sabemos que a força magnética é:
Igualando as duas expressões:
A frequência está relacionada à velocidade e ao raio por:
Substituindo na equação anterior:

Resposta

A frequência de ciclotron é dada por .

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(a)
(b)
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(a)
(b)
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