Pacotes de
passam da esteira transportadora para uma rampa circular lisa com uma velocidade inicial de
, como mostrado na figura (a) abaixo. Se o raio da rampa é de
, determine o ângulo máximo para o qual o pacote começa a perder contato com a superfície. (Sugestão: utilize a figura (b) abaixo como orientação gráfica para solução da questão)
(a)
(b)
(a)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um pacote de
que sai de uma esteira transportadora com uma velocidade inicial de
e vai subir uma rampa circular lisa de raio
. A questão quer saber qual é o ângulo máximo que o pacote consegue subir antes de perder contato com a rampa. Para resolver isso, vamos usar conceitos de dinâmica circular e conservação de energia.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar nas forças atuando no pacote enquanto ele está na rampa. Existem duas forças principais:
- Peso (
): Puxa o pacote para baixo com magnitude , onde e . - Força Normal (
): A força que a rampa exerce sobre o pacote, perpendicular à superfície.
Quando o pacote está se movendo na rampa, ele está fazendo um movimento circular, então há uma aceleração centrípeta dirigida para o centro da rampa. A condição para que o pacote continue em contato com a rampa é que a força normal seja maior que zero. Quando a força normal chega a zero, o pacote perde o contato.
Passo 3
Vamos considerar o equilíbrio de forças na direção radial (perpendicular à rampa). Na altura de subida com ângulo
, temos:
Onde:
-
é a força normal, -
é a velocidade do pacote na rampa, -
é o raio da rampa.
No ponto onde o pacote começa a perder contato,
. Então, a equação fica:
Podemos simplificar cancelando
dos dois lados:
Passo 4
Agora, precisamos relacionar a velocidade
do pacote na altura
usando a conservação da energia. A energia mecânica total é conservada porque a rampa é lisa (sem atrito). A energia cinética na base da rampa mais a energia potencial é igual à energia cinética na altura
.
Onde:
-
é a velocidade inicial, -
é a altura.
Simplificando e resolvendo para
:
Passo 5
Agora, substituímos
na equação da força centrípeta:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 6
Vamos reorganizar a equação para isolar os termos com
:
Dividindo ambos os lados por
:
Substituindo os valores conhecidos (
,
,
):
Passo 7
Agora, precisamos resolver a equação trigonométrica:
Podemos escrever isso na forma de um único cosseno usando identidade trigonométrica:
Comparando com nossa equação, temos
,
. O módulo
é:
E o ângulo
é:
Então, podemos reescrever a equação como:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 8
Agora, resolvemos para
:
Finalmente, isolamos
:
Resposta
O ângulo máximo para o qual o pacote começa a perder contato com a superfície da rampa é aproximadamente
.
Exercícios relacionados
A força que move uma partícula é
em
com um torque correspondente a
.m em relação a origem. Determine
.
Calcule o momento de inércia de um anel de massa
e raio
com relação ao seu centro.
A plataforma
, mostrada na figura (a) abaixo, tem massa desprezível e está presa por cabos de
que mantêm a mola de
de comprimento comprimida de
, quando não existe nenhum apoio sobre a plataforma. Um bloco de
é colocado sobre a plataforma e é solto a partir do repouso, após a plataforma ter sido empurrada
para baixo (figura (b)). Determine a altura máxima
(em relação ao piso) que o bloco sobe no ar.
(a)
(b)
(a)
(b)
Considere uma partícula de carga
e massa
situada num campo magnético uniforme
. Determine
a) A expressão da aceleração vetorial resultante da partícula, nos casos em que:
a) A expressão da aceleração vetorial resultante da partícula, nos casos em que:
- a partícula possui velocidade
. Demonstre qual é a trajetória da partícula (1,0)
b) A expressão da frequênia de cíclotron. (0,5)
(Fórmulas úteis:)