Pacotes de 2 kg passam da esteira transportadora para uma rampa circular lisa com uma velocidade inicial de 1 m / s, como mostrado na figura (a) abaixo. Se o raio da rampa é de 0,5 m, determine o ângulo máximo para o qual o pacote começa a perder contato com a superfície. (Sugestão: utilize a figura (b) abaixo como orientação gráfica para solução da questão)
(a)
(b)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um pacote de 2,kg que sai de uma esteira transportadora com uma velocidade inicial de 1,m/s e vai subir uma rampa circular lisa de raio 0,5,m. A questão quer saber qual é o ângulo máximo que o pacote consegue subir antes de perder contato com a rampa. Para resolver isso, vamos usar conceitos de dinâmica circular e conservação de energia.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar nas forças atuando no pacote enquanto ele está na rampa. Existem duas forças principais:
  1. Peso ( P): Puxa o pacote para baixo com magnitude P = m cdot g, onde m = 2,kg e g = 9,8,m/s^2.
  2. Força Normal ( N): A força que a rampa exerce sobre o pacote, perpendicular à superfície.
Quando o pacote está se movendo na rampa, ele está fazendo um movimento circular, então há uma aceleração centrípeta dirigida para o centro da rampa. A condição para que o pacote continue em contato com a rampa é que a força normal seja maior que zero. Quando a força normal chega a zero, o pacote perde o contato.

Passo 3

Vamos considerar o equilíbrio de forças na direção radial (perpendicular à rampa). Na altura de subida com ângulo theta, temos:
N + m cdot g cdot cos(theta) = m cdot v^2r
Onde:
  • N é a força normal,
  • v é a velocidade do pacote na rampa,
  • r = 0,5,m é o raio da rampa.
No ponto onde o pacote começa a perder contato, N = 0. Então, a equação fica:
m cdot g cdot cos(theta) = m cdot v^2r
Podemos simplificar cancelando m dos dois lados:
g cdot cos(theta) = v^2r

Passo 4

Agora, precisamos relacionar a velocidade v do pacote na altura theta usando a conservação da energia. A energia mecânica total é conservada porque a rampa é lisa (sem atrito). A energia cinética na base da rampa mais a energia potencial é igual à energia cinética na altura theta.
12 m v0^2 = 12 m v^2 - m cdot g cdot h
Onde:
  • v0 = 1,m/s é a velocidade inicial,
  • h = r cdot sin(theta) é a altura.
Simplificando e resolvendo para v^2:
v^2 = v0^2 + 2 g r cdot sin(theta)

Passo 5

Agora, substituímos v^2 na equação da força centrípeta:
g cdot cos(theta) = v0^2 + 2 g r cdot sin(theta)r
Multiplicando ambos os lados por r:
g r cdot cos(theta) = v0^2 + 2 g r cdot sin(theta)

Passo 6

Vamos reorganizar a equação para isolar os termos com theta:
g r cdot cos(theta) - 2 g r cdot sin(theta) = v0^2
Dividindo ambos os lados por g r:
cos(theta) - 2 sin(theta) = v0^2g r
Substituindo os valores conhecidos ( v0 = 1,m/s, g = 9,8,m/s^2, r = 0,5,m):
cos(theta) - 2 sin(theta) = 1^29,8 times 0,5 = 14,9 approx 0,2041

Passo 7

Agora, precisamos resolver a equação trigonométrica:
cos(theta) - 2 sin(theta) = 0,2041
Podemos escrever isso na forma de um único cosseno usando identidade trigonométrica:
A cos(theta) + B sin(theta) = C
Comparando com nossa equação, temos A = 1, B = -2. O módulo R é:
R = raizA^2 + B^2 = raiz1 + 4 = raiz5
E o ângulo alpha é:
alpha = arctan(BA) = arctan(-2) approx -63,43^circ
Então, podemos reescrever a equação como:
raiz5 cos(theta + 63,43^circ) = 0,2041
Dividindo ambos os lados por raiz5:
cos(theta + 63,43^circ) = 0,2041raiz5 approx 0,0911

Passo 8

Agora, resolvemos para theta + 63,43^circ:
theta + 63,43^circ = arccos(0,0911) approx 84,8^circ
Finalmente, isolamos theta:
theta = 84,8^circ - 63,43^circ approx 21,4^circ

Resposta

O ângulo máximo para o qual o pacote começa a perder contato com a superfície da rampa é aproximadamente 21,4^circ.

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