Pacotes de passam da esteira transportadora para uma rampa circular lisa com uma velocidade inicial de , como mostrado na figura (a) abaixo. Se o raio da rampa é de , determine o ângulo máximo para o qual o pacote começa a perder contato com a superfície. (Sugestão: utilize a figura (b) abaixo como orientação gráfica para solução da questão)
(a)
(b)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um pacote de que sai de uma esteira transportadora com uma velocidade inicial de e vai subir uma rampa circular lisa de raio . A questão quer saber qual é o ângulo máximo que o pacote consegue subir antes de perder contato com a rampa. Para resolver isso, vamos usar conceitos de dinâmica circular e conservação de energia.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar nas forças atuando no pacote enquanto ele está na rampa. Existem duas forças principais:
  1. Peso ( ): Puxa o pacote para baixo com magnitude , onde e .
  2. Força Normal ( ): A força que a rampa exerce sobre o pacote, perpendicular à superfície.
Quando o pacote está se movendo na rampa, ele está fazendo um movimento circular, então há uma aceleração centrípeta dirigida para o centro da rampa. A condição para que o pacote continue em contato com a rampa é que a força normal seja maior que zero. Quando a força normal chega a zero, o pacote perde o contato.

Passo 3

Vamos considerar o equilíbrio de forças na direção radial (perpendicular à rampa). Na altura de subida com ângulo , temos:
Onde:
  • é a força normal,
  • é a velocidade do pacote na rampa,
  • é o raio da rampa.
No ponto onde o pacote começa a perder contato, . Então, a equação fica:
Podemos simplificar cancelando dos dois lados:

Passo 4

Agora, precisamos relacionar a velocidade do pacote na altura usando a conservação da energia. A energia mecânica total é conservada porque a rampa é lisa (sem atrito). A energia cinética na base da rampa mais a energia potencial é igual à energia cinética na altura .
Onde:
  • é a velocidade inicial,
  • é a altura.
Simplificando e resolvendo para :

Passo 5

Agora, substituímos na equação da força centrípeta:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 6

Vamos reorganizar a equação para isolar os termos com :
Dividindo ambos os lados por :
Substituindo os valores conhecidos ( , , ):

Passo 7

Agora, precisamos resolver a equação trigonométrica:
Podemos escrever isso na forma de um único cosseno usando identidade trigonométrica:
Comparando com nossa equação, temos , . O módulo é:
E o ângulo é:
Então, podemos reescrever a equação como:
Dividindo ambos os lados por :

Passo 8

Agora, resolvemos para :
Finalmente, isolamos :

Resposta

O ângulo máximo para o qual o pacote começa a perder contato com a superfície da rampa é aproximadamente .

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(a)
(b)
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