A plataforma
, mostrada na figura (a) abaixo, tem massa desprezível e está presa por cabos de
que mantêm a mola de
de comprimento comprimida de
, quando não existe nenhum apoio sobre a plataforma. Um bloco de
é colocado sobre a plataforma e é solto a partir do repouso, após a plataforma ter sido empurrada
para baixo (figura (b)). Determine a altura máxima
(em relação ao piso) que o bloco sobe no ar.
(a)
(b)
(a)
(b)
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício está pedindo e identificar os conceitos que vamos usar para resolvê-lo.
Resumo do Problema: Temos uma plataforma com massa desprezível, presa por cabos que mantêm uma mola comprimida. Sem nenhum objeto sobre a plataforma, a mola está comprimida em 0,6 metros. Colocamos um bloco de 2 kg na plataforma e empurramos a plataforma mais 0,1 metros para baixo antes de soltá-la. Precisamos descobrir qual a altura máxima que o bloco alcança em relação ao chão.
Conteúdo da Matéria: Este problema envolve energia potencial elástica e energia potencial gravitacional. Vamos precisar entender como a energia armazenada na mola (energia potencial elástica) é convertida em energia cinética e, eventualmente, em energia potencial gravitacional quando o bloco sobe.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a energia potencial elástica armazenada na mola quando ela é comprimida.
A energia potencial elástica (EPE) em uma mola comprimida ou esticada é dada pela fórmula:
Onde:
-
é a constante da mola. -
é a deformação da mola (quanto ela está comprimida ou esticada).
No nosso caso, a mola tem comprimento natural de 1 m e está comprimida em 0,6 m sem nenhum apoio sobre a plataforma. Portanto, a compressão adicional de 0,1 m quando o bloco é colocado será considerada.
Passo 3
Para encontrar a constante da mola
, precisamos saber qual força está mantendo a mola comprimida em 0,6 m sem o bloco. A força que está comprimindo a mola é equilibrada pelos cabos que sustentam a plataforma.
A Lei de Hooke nos diz que a força exercida por uma mola é:
Aqui,
m e a força
é balanceada pelos cabos. Como a plataforma tem massa desprezível, essa força vem apenas da compressão da mola.
Sem mais informações sobre a força exata, vamos assumir que a constante da mola
pode ser cancelada nas equações seguintes, já que estamos interessados na altura máxima alcançada pelo bloco, e não no valor específico de
.
Passo 4
Quando o bloco de 2 kg é colocado na plataforma e a plataforma é empurrada 0,1 m para baixo, a mola fica comprimida um total de
.
A energia potencial elástica total armazenada na mola nesse ponto é:
Passo 5
Quando a plataforma é liberada, essa energia potencial elástica será convertida em energia cinética do bloco e, eventualmente, em energia potencial gravitacional quando o bloco alcançar a altura máxima.
A energia potencial gravitacional (EPG) é dada por:
Onde:
-
é a massa do bloco (2 kg). -
é a aceleração da gravidade ( ). -
é a altura máxima que queremos encontrar.
Assumindo que não há perdas de energia (como atrito), podemos igualar a energia potencial elástica inicial à energia potencial gravitacional final:
Passo 6
Agora, precisamos resolver essa equação para encontrar
. Primeiro, isolamos
:
Como não temos o valor de
, mas sabemos que originalmente a mola estava comprimida em 0,6 m sem o bloco, podemos expressar
em termos dessa compressão:
A força
aqui é igual ao peso que está comprimindo a mola inicialmente, que é o peso do bloco mais qualquer outra força presente. Porém, como a plataforma tem massa desprezível e inicialmente não há bloco, a compressão inicial é de 0,6 m apenas com a força dos cabos.
Para simplificar, podemos considerar que a constante
se cancela na equação quando relacionamos as comprimentos proporcionais, já que estamos trabalhando com proporções de compressão.
Passo 7
Substituindo de volta na equação para
:
Como
está relacionado à compressão inicial da mola, podemos considerar que a energia potencial elástica adicional devido aos 0,1 m comprimidos extras contribui diretamente para a altura máxima.
Portanto, resolvendo para
:
No entanto, isso sugere uma altura muito pequena, indicando que talvez haja uma abordagem diferente necessária.
Passo 8
Vamos reconsiderar o problema. A energia adicional armazenada quando a plataforma é empurrada 0,1 m para baixo é o que impulsionará o bloco para cima.
A energia potencial elástica adicional é:
Essa energia será convertida em energia potencial gravitacional no ponto mais alto:
Isolando
:
Agora, precisamos encontrar
. Sabemos que, sem o bloco, a mola está comprimida em 0,6 m, então:
A força
que comprime a mola é igual à força dos cabos. Sem o bloco, essa força mantém a mola comprimida em 0,6 m. Portanto:
Substituindo na equação de
:
Ainda precisamos de mais informações sobre a força
para resolver numericamente. Sem essa informação, não podemos determinar um valor exato para
.
Resposta
Devido à ausência de informações específicas sobre a força exercida pelos cabos, não é possível determinar numericamente a altura máxima
que o bloco atinge. Para calcular
, seria necessário conhecer a constante da mola
ou a força
que está comprimindo a mola inicialmente.
Exercícios relacionados
Pacotes de
passam da esteira transportadora para uma rampa circular lisa com uma velocidade inicial de
, como mostrado na figura (a) abaixo. Se o raio da rampa é de
, determine o ângulo máximo para o qual o pacote começa a perder contato com a superfície. (Sugestão: utilize a figura (b) abaixo como orientação gráfica para solução da questão)
(a)
(b)
(a)
(b)
A força que move uma partícula é
em
com um torque correspondente a
.m em relação a origem. Determine
.
Considere uma partícula de carga
e massa
situada num campo magnético uniforme
. Determine
a) A expressão da aceleração vetorial resultante da partícula, nos casos em que:
a) A expressão da aceleração vetorial resultante da partícula, nos casos em que:
- a partícula possui velocidade
. Demonstre qual é a trajetória da partícula (1,0)
b) A expressão da frequênia de cíclotron. (0,5)
(Fórmulas úteis:)
Duas pedras são largadas da beirada de um precipício de
, a segunda
após a primeira. A que distância abaixo do topo do precipício está a segunda pedra quando a separação entre ambas é de
? [R.:
.]