A plataforma P, mostrada na figura (a) abaixo, tem massa desprezível e está presa por cabos de 0,4 m que mantêm a mola de 1 m de comprimento comprimida de 0,6 m, quando não existe nenhum apoio sobre a plataforma. Um bloco de 2 kg é colocado sobre a plataforma e é solto a partir do repouso, após a plataforma ter sido empurrada 0,1 m para baixo (figura (b)). Determine a altura máxima h (em relação ao piso) que o bloco sobe no ar.
(a)
(b)

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício está pedindo e identificar os conceitos que vamos usar para resolvê-lo.
Resumo do Problema: Temos uma plataforma com massa desprezível, presa por cabos que mantêm uma mola comprimida. Sem nenhum objeto sobre a plataforma, a mola está comprimida em 0,6 metros. Colocamos um bloco de 2 kg na plataforma e empurramos a plataforma mais 0,1 metros para baixo antes de soltá-la. Precisamos descobrir qual a altura máxima que o bloco alcança em relação ao chão.
Conteúdo da Matéria: Este problema envolve energia potencial elástica e energia potencial gravitacional. Vamos precisar entender como a energia armazenada na mola (energia potencial elástica) é convertida em energia cinética e, eventualmente, em energia potencial gravitacional quando o bloco sobe.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a energia potencial elástica armazenada na mola quando ela é comprimida.
A energia potencial elástica (EPE) em uma mola comprimida ou esticada é dada pela fórmula:
EPE = 12 k x^2
Onde:
  • é a constante da mola.
  • é a deformação da mola (quanto ela está comprimida ou esticada).
No nosso caso, a mola tem comprimento natural de 1 m e está comprimida em 0,6 m sem nenhum apoio sobre a plataforma. Portanto, a compressão adicional de 0,1 m quando o bloco é colocado será considerada.

Passo 3

Para encontrar a constante da mola F = k x , precisamos saber qual força está mantendo a mola comprimida em 0,6 m sem o bloco. A força que está comprimindo a mola é equilibrada pelos cabos que sustentam a plataforma.
A Lei de Hooke nos diz que a força exercida por uma mola é:
Aqui, m e a força é balanceada pelos cabos. Como a plataforma tem massa desprezível, essa força vem apenas da compressão da mola.
Sem mais informações sobre a força exata, vamos assumir que a constante da mola pode ser cancelada nas equações seguintes, já que estamos interessados na altura máxima alcançada pelo bloco, e não no valor específico de .

Passo 4

Quando o bloco de 2 kg é colocado na plataforma e a plataforma é empurrada 0,1 m para baixo, a mola fica comprimida um total de EPEtotal = 12 k (0,7)^2 .
A energia potencial elástica total armazenada na mola nesse ponto é:

Passo 5

Quando a plataforma é liberada, essa energia potencial elástica será convertida em energia cinética do bloco e, eventualmente, em energia potencial gravitacional quando o bloco alcançar a altura máxima.
A energia potencial gravitacional (EPG) é dada por:
EPG = m g h
Onde:
  • 12 k (0,7)^2 = m g h é a massa do bloco (2 kg).
  • é a aceleração da gravidade ( ).
  • é a altura máxima que queremos encontrar.
Assumindo que não há perdas de energia (como atrito), podemos igualar a energia potencial elástica inicial à energia potencial gravitacional final:

Passo 6

Agora, precisamos resolver essa equação para encontrar h = 12 k (0,7)^2m g . Primeiro, isolamos F = k x Rightarrow k = Fx :
Como não temos o valor de , mas sabemos que originalmente a mola estava comprimida em 0,6 m sem o bloco, podemos expressar em termos dessa compressão:
A força aqui é igual ao peso que está comprimindo a mola inicialmente, que é o peso do bloco mais qualquer outra força presente. Porém, como a plataforma tem massa desprezível e inicialmente não há bloco, a compressão inicial é de 0,6 m apenas com a força dos cabos.
Para simplificar, podemos considerar que a constante se cancela na equação quando relacionamos as comprimentos proporcionais, já que estamos trabalhando com proporções de compressão.

Passo 7

Substituindo de volta na equação para h = 12 cdot (0,7)^2m g / k :
h = 12 cdot (0,1)^2g = 0,0059,8 approx 0,00051 , m
Como está relacionado à compressão inicial da mola, podemos considerar que a energia potencial elástica adicional devido aos 0,1 m comprimidos extras contribui diretamente para a altura máxima.
Portanto, resolvendo para :
No entanto, isso sugere uma altura muito pequena, indicando que talvez haja uma abordagem diferente necessária.

Passo 8

Vamos reconsiderar o problema. A energia adicional armazenada quando a plataforma é empurrada 0,1 m para baixo é o que impulsionará o bloco para cima.
A energia potencial elástica adicional é:
EPEadicional = 12 k (0,1)^2
Essa energia será convertida em energia potencial gravitacional no ponto mais alto:
12 k (0,1)^2 = m g h
Isolando h = 12 k (0,1)^2m g :
F = k x Rightarrow k = Fx
Agora, precisamos encontrar k = F0,6 . Sabemos que, sem o bloco, a mola está comprimida em 0,6 m, então:
h = 12 cdot F0,6 cdot (0,1)^22 cdot 9,8
A força que comprime a mola é igual à força dos cabos. Sem o bloco, essa força mantém a mola comprimida em 0,6 m. Portanto:
Substituindo na equação de :
Ainda precisamos de mais informações sobre a força para resolver numericamente. Sem essa informação, não podemos determinar um valor exato para .

Resposta

Devido à ausência de informações específicas sobre a força exercida pelos cabos, não é possível determinar numericamente a altura máxima que o bloco atinge. Para calcular , seria necessário conhecer a constante da mola ou a força que está comprimindo a mola inicialmente.

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