Dada a seguinte função de onda:
prove que:
Usando essa função de onda
, responda à seguinte pergunta: qual é a probabilidade de encontrar a partícula no intervalo
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma função de onda
. Nosso objetivo é primeiro provar que a integral de
de
a
é igual a 1. Isso faz parte do conteúdo de mecânica quântica, especificamente sobre a normalização da função de onda, que garante que a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o espaço seja 1. Depois, vamos usar essa função para calcular a probabilidade de encontrar a partícula no intervalo
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular
. A função
é real, então
é simplesmente
ao quadrado:
Passo 3
Agora, queremos provar que:
Substituindo
:
Podemos fatorar a constante
:
Passo 4
Para resolver a integral
, usamos a identidade trigonométrica:
Substituindo na integral:
Passo 5
Agora, vamos integrar termo a termo:
Então:
Passo 6
Pronto! Mostramos que:
Isso confirma que a função de onda está corretamente normalizada.
Passo 7
Agora, vamos calcular a probabilidade de encontrar a partícula no intervalo
. A probabilidade
é dada por:
Passo 8
Usando a mesma identidade trigonométrica de antes:
Substituindo na integral:
Passo 9
Integrando termo a termo:
Então:
Resposta
A probabilidade de encontrar a partícula no intervalo
é
ou 50%.
Exercícios relacionados
Considere uma partícula confinada em uma caixa unidimensional de tamanho
, ou seja, a partícula só pode se mover no intervalo
. O comportamento da partícula é descrito pela equação de Schrödinger independente do tempo:
onde:
-
, -
é a massa da partícula, -
é a função de onda da partícula, e -
é a energia da partícula.
Além disso, a função de ondadeve satisfazer as seguintes condições de fronteira:
que representam o confinamento da partícula dentro da caixa.
A equação de Schrödinger independente do tempo, em sua forma unidimensional, é dada por:
A equação de Schrödinger independente do tempo, em sua forma unidimensional, é dada por:
Rearranjando a equação:
Definindo o parâmetro
como:
a equação de Schrödinger pode ser reescrita como:
Prove por substituição direta que a solução geral dessa equação diferencial é dada por:
onde
e
são constantes que, posteriormente, serão determinadas pelas condições de fronteira.
Aplicando a primeira condição de fronteira :
Aplicando a primeira condição de fronteira
Portanto, a função de onda simplifica-se para:
Aplicando a segunda condição de fronteira
:
Para que
e
, devemos ter:
Isso ocorre quando:
Portanto, os valores permitidos de
são quantizados, e a função de onda assume a forma:
Prove que
é dado por:
Para isso, substitua
na condição de normalização e realize a integral:
Assim, a função de onda normalizada é dada por:
Considere a seguinte função de onda:
Ao calcular o quadrado da função de onda, obtemos:
Nesse formato,
é uma função gaussiana, com desvio padrão
, que corresponde à incerteza na medição da posição.
A representação da função de onda no espaço do momento é dada por:
A representação da função de onda no espaço do momento
onde
. Mostre que o quadrado de
é dado por:
onde
Observe que
representa a incerteza na medição do momento linear. A partir desse resultado, vemos que o produto das incertezas da posição com o
momento, ou seja, , é igual a
. Essa incerteza mínima está de acordo com o princípio da incerteza de Heisenberg, que é dado por:
momento, ou seja,
Resolva a equação diferencial para um pêndulo amortecido (massa
, comprimento
), considerando ângulo máximo igual a
e que o pêndulo foi solto. Um pêndulo simples tem seu período reduzido pela metade após 10 oscilações completas. Determine a constante de amortecimento
.
Uma partícula se desloca em um plano
-y, de tal modo que a sua velocidade é dada por:
. Determine:
(d) O tempo em que o componente vertical do vetor aceleração é zero.
(d) O tempo em que o componente vertical do vetor aceleração é zero.