Dada a seguinte função de onda:
prove que:
Usando essa função de onda , responda à seguinte pergunta: qual é a probabilidade de encontrar a partícula no intervalo

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma função de onda . Nosso objetivo é primeiro provar que a integral de de a é igual a 1. Isso faz parte do conteúdo de mecânica quântica, especificamente sobre a normalização da função de onda, que garante que a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o espaço seja 1. Depois, vamos usar essa função para calcular a probabilidade de encontrar a partícula no intervalo .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular . A função é real, então é simplesmente ao quadrado:

Passo 3

Agora, queremos provar que:
Substituindo :
Podemos fatorar a constante :

Passo 4

Para resolver a integral , usamos a identidade trigonométrica:
Substituindo na integral:

Passo 5

Agora, vamos integrar termo a termo:
Então:

Passo 6

Pronto! Mostramos que:
Isso confirma que a função de onda está corretamente normalizada.

Passo 7

Agora, vamos calcular a probabilidade de encontrar a partícula no intervalo . A probabilidade é dada por:

Passo 8

Usando a mesma identidade trigonométrica de antes:
Substituindo na integral:

Passo 9

Integrando termo a termo:
Então:

Resposta

A probabilidade de encontrar a partícula no intervalo é ou 50%.

Exercícios relacionados

Considere uma partícula confinada em uma caixa unidimensional de tamanho , ou seja, a partícula só pode se mover no intervalo . O comportamento da partícula é descrito pela equação de Schrödinger independente do tempo:
onde:
  • ,
  • é a massa da partícula,
  • é a função de onda da partícula, e
  • é a energia da partícula.
    Além disso, a função de onda deve satisfazer as seguintes condições de fronteira:
que representam o confinamento da partícula dentro da caixa.
A equação de Schrödinger independente do tempo, em sua forma unidimensional, é dada por:
Rearranjando a equação:
Definindo o parâmetro como:
a equação de Schrödinger pode ser reescrita como:
Prove por substituição direta que a solução geral dessa equação diferencial é dada por:
onde e são constantes que, posteriormente, serão determinadas pelas condições de fronteira.
Aplicando a primeira condição de fronteira :
Portanto, a função de onda simplifica-se para:
Aplicando a segunda condição de fronteira :
Para que e , devemos ter:
Isso ocorre quando:
Portanto, os valores permitidos de são quantizados, e a função de onda assume a forma:
Prove que é dado por:
Para isso, substitua na condição de normalização e realize a integral:
Assim, a função de onda normalizada é dada por:
Considere a seguinte função de onda:
Ao calcular o quadrado da função de onda, obtemos:
Nesse formato, é uma função gaussiana, com desvio padrão , que corresponde à incerteza na medição da posição.
A representação da função de onda no espaço do momento é dada por:
onde . Mostre que o quadrado de é dado por:
onde
Observe que representa a incerteza na medição do momento linear. A partir desse resultado, vemos que o produto das incertezas da posição com o
momento, ou seja, , é igual a . Essa incerteza mínima está de acordo com o princípio da incerteza de Heisenberg, que é dado por:
Resolva a equação diferencial para um pêndulo amortecido (massa , comprimento ), considerando ângulo máximo igual a e que o pêndulo foi solto. Um pêndulo simples tem seu período reduzido pela metade após 10 oscilações completas. Determine a constante de amortecimento .
Uma partícula se desloca em um plano -y, de tal modo que a sua velocidade é dada por: . Determine:
(d) O tempo em que o componente vertical do vetor aceleração é zero.