Dada a seguinte função de onda:
prove que:
Usando essa função de onda
, responda à seguinte pergunta: qual é a probabilidade de encontrar a partícula no intervalo
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma função de onda
. Nosso objetivo é primeiro provar que a integral de
de
a
é igual a 1. Isso faz parte do conteúdo de mecânica quântica, especificamente sobre a normalização da função de onda, que garante que a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o espaço seja 1. Depois, vamos usar essa função para calcular a probabilidade de encontrar a partícula no intervalo
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular
. A função
é real, então
é simplesmente
ao quadrado:
Passo 3
Agora, queremos provar que:
Substituindo
:
Podemos fatorar a constante
:
Passo 4
Para resolver a integral
, usamos a identidade trigonométrica:
Substituindo na integral:
Passo 5
Agora, vamos integrar termo a termo:
Então:
Passo 6
Pronto! Mostramos que:
Isso confirma que a função de onda está corretamente normalizada.
Passo 7
Agora, vamos calcular a probabilidade de encontrar a partícula no intervalo
. A probabilidade
é dada por:
Passo 8
Usando a mesma identidade trigonométrica de antes:
Substituindo na integral:
Passo 9
Integrando termo a termo:
Então:
Resposta
A probabilidade de encontrar a partícula no intervalo
é
ou 50%.