Dada a seguinte função de onda:
psi(x)=raiz2pi sin (x)
prove que:
integral0^pi|psi(x)|^2 d x=1
Usando essa função de onda psi(x), responda à seguinte pergunta: qual é a probabilidade de encontrar a partícula no intervalo (0, pi / 2) ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma função de onda . Nosso objetivo é primeiro provar que a integral de de a é igual a 1. Isso faz parte do conteúdo de mecânica quântica, especificamente sobre a normalização da função de onda, que garante que a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o espaço seja 1. Depois, vamos usar essa função para calcular a probabilidade de encontrar a partícula no intervalo .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular |psi(x)|^2 = ( raiz2pi sin(x) )^2 = 2pi sin^2(x) . A função é real, então é simplesmente ao quadrado:

Passo 3

Agora, queremos provar que:
integral0^pi |psi(x)|^2 , dx = 1
Substituindo integral0^pi 2pi sin^2(x) , dx :
2pi integral0^pi sin^2(x) , dx
Podemos fatorar a constante :

Passo 4

Para resolver a integral sin^2(x) = 1 - cos(2x)2 , usamos a identidade trigonométrica:
2pi integral0^pi 1 - cos(2x)2 , dx = 2pi cdot 12 integral0^pi (1 - cos(2x)) , dx = 1pi integral0^pi (1 - cos(2x)) , dx
Substituindo na integral:

Passo 5

Agora, vamos integrar termo a termo:
integral0^pi 1 , dx = pi
integral0^pi cos(2x) , dx = [ sin(2x)2 ]0^pi = sin(2pi) - sin(0)2 = 0
Então:
1pi (pi - 0) = 1

Passo 6

Pronto! Mostramos que:
integral0^pi |psi(x)|^2 , dx = 1
Isso confirma que a função de onda está corretamente normalizada.

Passo 7

Agora, vamos calcular a probabilidade de encontrar a partícula no intervalo P = integral0^pi/2 |psi(x)|^2 , dx = integral0^pi/2 2pi sin^2(x) , dx . A probabilidade é dada por:

Passo 8

Usando a mesma identidade trigonométrica de antes:
sin^2(x) = 1 - cos(2x)2
Substituindo na integral:
P = 2pi integral0^pi/2 1 - cos(2x)2 , dx = 1pi integral0^pi/2 (1 - cos(2x)) , dx

Passo 9

Integrando termo a termo:
integral0^pi/2 1 , dx = pi2
integral0^pi/2 cos(2x) , dx = [ sin(2x)2 ]0^pi/2 = sin(pi) - sin(0)2 = 0
Então:
P = 1pi ( pi2 - 0 ) = 12

Resposta

A probabilidade de encontrar a partícula no intervalo é ou 50%.

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