Considere uma partícula confinada em uma caixa unidimensional de tamanho , ou seja, a partícula só pode se mover no intervalo . O comportamento da partícula é descrito pela equação de Schrödinger independente do tempo:
onde:
  • ,
  • é a massa da partícula,
  • é a função de onda da partícula, e
  • E é a energia da partícula.
    Além disso, a função de onda deve satisfazer as seguintes condições de fronteira:
que representam o confinamento da partícula dentro da caixa.
A equação de Schrödinger independente do tempo, em sua forma unidimensional, é dada por:
Rearranjando a equação:
Definindo o parâmetro como:
a equação de Schrödinger pode ser reescrita como:
Prove por substituição direta que a solução geral dessa equação diferencial é dada por:
onde e são constantes que, posteriormente, serão determinadas pelas condições de fronteira.
Aplicando a primeira condição de fronteira :
Portanto, a função de onda simplifica-se para:
Aplicando a segunda condição de fronteira :
Para que e , devemos ter:
Isso ocorre quando:
Portanto, os valores permitidos de são quantizados, e a função de onda assume a forma:
Prove que é dado por:
Para isso, substitua na condição de normalização e realize a integral:
Assim, a função de onda normalizada é dada por:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma partícula que está presa em uma “caixa” unidimensional de tamanho . Isso significa que a partícula só pode se mover entre e . A equação que descreve o comportamento dela é a equação de Schrödinger independente do tempo:
Aqui, é a função de onda da partícula, é a energia dela, é a massa, e é a constante de Planck dividida por . Nosso objetivo é mostrar que a constante na função de onda normalizada é igual a . Para isso, precisamos usar a condição de normalização da função de onda:
Vamos resolver isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função de onda normalizada que já encontramos é:
A condição de normalização exige que a integral do quadrado da função de onda de a seja igual a . Ou seja:
Substituindo :

Passo 3

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Agora, podemos tirar fora da integral, já que é uma constante:

Passo 4

Precisamos resolver a integral , onde . Sabemos que:
Então, substituindo na integral:
Isso simplifica para:

Passo 5

Vamos calcular os limites da integral. Substituindo e :
Como e , e , a expressão fica:

Passo 6

Agora, resolvemos para :
Para encontrar , tiramos a raiz quadrada dos dois lados:

Resposta

Então, mostramos que a constante de normalização é:

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