Considere uma partícula confinada em uma caixa unidimensional de tamanho
, ou seja, a partícula só pode se mover no intervalo
. O comportamento da partícula é descrito pela equação de Schrödinger independente do tempo:
onde:
-
,
-
é a massa da partícula,
-
é a função de onda da partícula, e
- E é a energia da partícula.
Além disso, a função de onda
deve satisfazer as seguintes condições de fronteira:
que representam o confinamento da partícula dentro da caixa.
A equação de Schrödinger independente do tempo, em sua forma unidimensional, é dada por:
Rearranjando a equação:
Definindo o parâmetro
como:
a equação de Schrödinger pode ser reescrita como:
Prove por substituição direta que a solução geral dessa equação diferencial é dada por:
onde
e
são constantes que, posteriormente, serão determinadas pelas condições de fronteira.
Aplicando a primeira condição de fronteira
:
Portanto, a função de onda simplifica-se para:
Aplicando a segunda condição de fronteira
:
Para que
e
, devemos ter:
Isso ocorre quando:
Portanto, os valores permitidos de
são quantizados, e a função de onda assume a forma:
Prove que
é dado por:
Para isso, substitua
na condição de normalização e realize a integral:
Assim, a função de onda normalizada é dada por:
Além disso, a função de onda
A equação de Schrödinger independente do tempo, em sua forma unidimensional, é dada por:
Aplicando a primeira condição de fronteira
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma partícula que está presa em uma “caixa” unidimensional de tamanho
. Isso significa que a partícula só pode se mover entre
e
. A equação que descreve o comportamento dela é a equação de Schrödinger independente do tempo:
Aqui,
é a função de onda da partícula,
é a energia dela,
é a massa, e
é a constante de Planck dividida por
. Nosso objetivo é mostrar que a constante
na função de onda normalizada é igual a
. Para isso, precisamos usar a condição de normalização da função de onda:
Vamos resolver isso passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função de onda normalizada que já encontramos é:
A condição de normalização exige que a integral do quadrado da função de onda de
a
seja igual a
. Ou seja:
Substituindo
:
Passo 3
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Agora, podemos tirar
fora da integral, já que é uma constante:
Passo 4
Precisamos resolver a integral
, onde
. Sabemos que:
Então, substituindo na integral:
Isso simplifica para:
Passo 5
Vamos calcular os limites da integral. Substituindo
e
:
Como
e
, e
, a expressão fica:
Passo 6
Agora, resolvemos para
:
Para encontrar
, tiramos a raiz quadrada dos dois lados:
Resposta
Então, mostramos que a constante de normalização
é:
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