Considere uma partícula confinada em uma caixa unidimensional de tamanho L, ou seja, a partícula só pode se mover no intervalo 0 <= x <= L. O comportamento da partícula é descrito pela equação de Schrödinger independente do tempo:
-hbar^22 m d^2 psi(x)d x^2=E psi(x)
onde:
  • hbar=h /(2 pi),
  • m é a massa da partícula,
  • psi(x) é a função de onda da partícula, e
  • E é a energia da partícula.
    Além disso, a função de onda psi(x) deve satisfazer as seguintes condições de fronteira:
psi(0)=0 e psi(L)=0
que representam o confinamento da partícula dentro da caixa.
A equação de Schrödinger independente do tempo, em sua forma unidimensional, é dada por:
-hbar^22 m d^2 psi(x)d x^2=E psi(x)
Rearranjando a equação:
d^2 psi(x)d x^2=-2 m Ehbar^2 psi(x)
Definindo o parâmetro k como:
k=raiz2 m Ehbar
a equação de Schrödinger pode ser reescrita como:
d^2 psi(x)d x^2=-k^2 psi(x)
Prove por substituição direta que a solução geral dessa equação diferencial é dada por:
psi(x)=A sin (k x)+B cos (k x)
onde A e B são constantes que, posteriormente, serão determinadas pelas condições de fronteira.
Aplicando a primeira condição de fronteira psi(0)=0 :
psi(0)=A sin (0)+B cos (0)=B=0
Portanto, a função de onda simplifica-se para:
psi(x)=A sin (k x)
Aplicando a segunda condição de fronteira psi(L)=0 :
psi(L)=A sin (k L)=0
Para que psi(L)=0 e A neq 0, devemos ter:
sin (k L)=0
Isso ocorre quando:
k=n piL, n=1,2,3, ldots
Portanto, os valores permitidos de k são quantizados, e a função de onda assume a forma:
psin(x)=An sin (n pi xL), n=1,2,3, ldots
Prove que An é dado por:
An=raiz2L
Para isso, substitua psin(x) na condição de normalização e realize a integral:
integral0^L|psin(x)|^2 d x=1
Assim, a função de onda normalizada é dada por:
psin(x)=raiz2L sin (n pi xL), n=1,2,3, ldots

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma partícula que está presa em uma “caixa” unidimensional de tamanho -hbar^22 m d^2 psi(x)d x^2=E psi(x) . Isso significa que a partícula só pode se mover entre integral0^L|psin(x)|^2 d x=1 e . A equação que descreve o comportamento dela é a equação de Schrödinger independente do tempo:
Aqui, é a função de onda da partícula, é a energia dela, é a massa, e é a constante de Planck dividida por . Nosso objetivo é mostrar que a constante na função de onda normalizada é igual a . Para isso, precisamos usar a condição de normalização da função de onda:
Vamos resolver isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função de onda normalizada que já encontramos é:
psin(x) = An sin (n pi xL), n=1,2,3,ldots
A condição de normalização exige que a integral do quadrado da função de onda de integral0^L | psin(x) |^2 dx = 1 a integral0^L ( An sin (n pi xL) )^2 dx = 1 seja igual a . Ou seja:
Substituindo :

Passo 3

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
An^2 integral0^L sin^2 (n pi xL) dx = 1
Agora, podemos tirar An^2 integral0^L sin^2 (n pi xL) dx = 1 fora da integral, já que é uma constante:

Passo 4

Precisamos resolver a integral sin^2(kx) = 1 - cos(2kx)2 , onde An^2 integral0^L 1 - cos(2kx)2 dx = 1 . Sabemos que:
An^2 [ x2 - sin(2kx)4k ]0^L = 1
Então, substituindo na integral:
Isso simplifica para:

Passo 5

Vamos calcular os limites da integral. Substituindo An^2 [ L2 - sin(2kL)4k - (0 - sin(0)4k) ] = 1 e An^2 cdot L2 = 1 :
Como e , e , a expressão fica:

Passo 6

Agora, resolvemos para An^2 = 2L :
An = raiz2L
Para encontrar , tiramos a raiz quadrada dos dois lados:

Resposta

Então, mostramos que a constante de normalização An = raiz2L é:

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