Etanol, com densidade de , escoa suavemente através de uma tubulação horizontal cuja área de seção transversal se reduz de para . A diferença de pressão entre as seções larga e estreita da tubulação é de 4120Pa. Qual a vazão volumétrica do etanol?

Passo 1

Então, a gente tem um problema de fluxo de etanol em uma tubulação que muda de diâmetro. O etanol tem uma densidade de e está passando por um cano horizontal onde a área da seção transversal diminui de para . A diferença de pressão entre as duas seções é de 4120 Pa. A gente quer descobrir qual é a vazão volumétrica do etanol. Para resolver isso, vamos usar a equação de Bernoulli e a equação da continuidade, que são conceitos da mecânica dos fluidos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação da continuidade, que nos diz que, para um fluido incompressível, a vazão volumétrica ( ) é constante ao longo do tubo. A equação é:
Onde é a área da seção transversal e é a velocidade do fluido.

Passo 3

Como a área da seção transversal diminui pela metade de para , a velocidade do fluxo deve aumentar para manter a mesma vazão. Vamos chamar as velocidades nas seções 1 e 2 de e , respectivamente.
Substituindo :
Então, a velocidade na seção 2 é o dobro da velocidade na seção 1.

Passo 4

Agora, vamos usar a equação de Bernoulli, que relaciona a pressão, a velocidade e a altura em dois pontos de um fluxo:
Como o tubo é horizontal, as alturas e são iguais e se cancelam. A diferença de pressão . Substituindo na equação:
Sabemos que , então:

Passo 5

Resolvendo para :

Passo 6

Agora que temos , podemos encontrar a vazão volumétrica usando a equação da continuidade:

Resposta

A vazão volumétrica do etanol é aproximadamente .

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Considere uma partícula confinada em uma caixa unidimensional de tamanho , ou seja, a partícula só pode se mover no intervalo . O comportamento da partícula é descrito pela equação de Schrödinger independente do tempo:
onde:
  • ,
  • é a massa da partícula,
  • é a função de onda da partícula, e
  • E é a energia da partícula.
    Além disso, a função de onda deve satisfazer as seguintes condições de fronteira:
que representam o confinamento da partícula dentro da caixa.
A equação de Schrödinger independente do tempo, em sua forma unidimensional, é dada por:
Rearranjando a equação:
Definindo o parâmetro como:
a equação de Schrödinger pode ser reescrita como:
Prove por substituição direta que a solução geral dessa equação diferencial é dada por:
onde e são constantes que, posteriormente, serão determinadas pelas condições de fronteira.
Aplicando a primeira condição de fronteira :
Portanto, a função de onda simplifica-se para:
Aplicando a segunda condição de fronteira :
Para que e , devemos ter:
Isso ocorre quando:
Portanto, os valores permitidos de são quantizados, e a função de onda assume a forma:
Prove que é dado por:
Para isso, substitua na condição de normalização e realize a integral:
Assim, a função de onda normalizada é dada por:
Considerando as forças em cada uma das situações seguintes, assinale d) Uma esfera descendo rolando (sem deslizar) em um plano inclinado, com movimento acelerado.
( ) força peso ( ) força normal ( ) força resultante