Considere uma partícula descrita por uma função de onda varphi(x). varphi(x, 0)=lA(x^2-a^2), -aa,
Sabendo que A e a são constantes reais positivas,
a) Normalize varphi(x, 0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula descrita por uma função de onda varphi(x, 0) que é A(x^2 - a^2) quando $ -a < x < a $ e zero fora disso. Nosso objetivo aqui é normalizar essa função de onda. Isso significa que precisamos ajustar a constante -a < x < a de forma que a probabilidade total da partícula estar em algum lugar no espaço seja igual a 1. Para fazer isso, vamos usar o conceito de integral da função de onda ao quadrado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa normalizar uma função de onda. A normalização garante que:
integral-infty^+infty |varphi(x, 0)|^2 dx = 1
No nosso caso, como varphi(x, 0) é diferente de zero apenas entre -a e a, a integral fica:
integral-a^a |A(x^2 - a^2)|^2 dx = 1

Passo 3

Agora, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Como A e (x^2 - a^2) são reais, podemos tirar o módulo sem problemas:
integral-a^a A^2(x^2 - a^2)^2 dx = 1
Podemos fatorar o A^2 para facilitar:
A^2 integral-a^a (x^2 - a^2)^2 dx = 1

Passo 4

Vamos calcular a integral integral-a^a (x^2 - a^2)^2 dx. Primeiro, expandimos o polinômio:
(x^2 - a^2)^2 = x^4 - 2a^2x^2 + a^4
Agora, integramos termo a termo:
integral-a^a x^4 dx - 2a^2 integral-a^a x^2 dx + a^4 integral-a^a dx
Sabemos que para funções pares, integral-a^a x^n dx = 2 integral0^a x^n dx. Calculando cada parte:
2 ( a^55 ) - 2a^2 cdot 2 ( a^33 ) + a^4 cdot 2a = 2a^55 - 4a^53 + 2a^5 = ( 25 - 43 + 2 ) a^5
Calculando os coeficientes:
25 - 43 + 2 = 615 - 2015 + 3015 = 1615
Então, a integral vale 1615 a^5.

Passo 5

Voltando à equação original:
A^2 cdot 1615 a^5 = 1
Para encontrar A:
A^2 = 1516 a^5 implies A = raiz1516 a^5 = raiz154 a^5/2

Resposta

A constante de normalização é $ A = \dfrac{\sqrt{15}}{4, a^{5/2}} $.

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