Considere uma partícula descrita por uma função de onda
.
Sabendo que
e
são constantes reais positivas,
a) Normalize
.
Sabendo que
a) Normalize
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula descrita por uma função de onda
que é
quando $ -a < x < a $ e zero fora disso. Nosso objetivo aqui é normalizar essa função de onda. Isso significa que precisamos ajustar a constante
de forma que a probabilidade total da partícula estar em algum lugar no espaço seja igual a 1. Para fazer isso, vamos usar o conceito de integral da função de onda ao quadrado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa normalizar uma função de onda. A normalização garante que:
No nosso caso, como
é diferente de zero apenas entre
e
, a integral fica:
Passo 3
Agora, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Como
e
são reais, podemos tirar o módulo sem problemas:
Podemos fatorar o
para facilitar:
Passo 4
Vamos calcular a integral
. Primeiro, expandimos o polinômio:
Agora, integramos termo a termo:
Sabemos que para funções pares,
. Calculando cada parte:
Calculando os coeficientes:
Então, a integral vale
.
Passo 5
Voltando à equação original:
Para encontrar
:
Resposta
A constante de normalização é $ A = \dfrac{\sqrt{15}}{4, a^{5/2}} $.