Para a função de onda de uma partícula Psi(x, t)=A sen(4 pi xa) e^-i E t / hbar, com -a / 2, calcule os locais mais prováveis de se localizar a partícula e faça o gráfico da densidade de probabilidade.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão tá pedindo e identificar o que a gente vai usar pra resolver. A gente tem a função de onda de uma partícula:
Psi(x, t) = A , sin(4 pi xa) e^-i E t / hbar
definida no intervalo -a2 < x < a2. A tarefa é descobrir onde é mais provável encontrar a partícula e fazer o gráfico da densidade de probabilidade. Vamos usar conceitos de mecânica quântica, especificamente como calcular a densidade de probabilidade a partir da função de onda e identificar os pontos onde essa densidade é máxima.

Passo 2

Primeiro, a densidade de probabilidade rho(x, t) é dada pelo módulo ao quadrado da função de onda:
rho(x, t) = |Psi(x, t)|^2
Vamos calcular isso. A função de onda é:
Psi(x, t) = A , sin(4 pi xa) e^-i E t / hbar
Quando tiramos o módulo ao quadrado, o termo exponencial passa a ter módulo 1 (porque $ |e^{i\theta}| = 1 $), então:
|e^itheta| = 1

Passo 3

Agora, queremos saber onde a densidade de probabilidade é máxima, ou seja, onde rho(x) atinge seus valores mais altos. Olhando para a função:
rho(x) = |A|^2 sin^2(4 pi xa)
A função sin^2(theta) tem valor máximo de 1, então a densidade de probabilidade atinge seu máximo quando:
sin^2(4 pi xa) = 1

Passo 4

Para que sin^2(theta) = 1, o seno precisa ser pm1. Ou seja:
sin(4 pi xa) = pm1
Isso acontece quando o argumento do seno é igual a pi2 + npi, onde n é um número inteiro.

Passo 5

Vamos resolver para x:
4 pi xa = pi2 + npi
Dividindo ambos os lados por pi:
4 xa = 12 + n
Multiplicando ambos os lados por a4:
x = a8 + a4n

Passo 6

Agora, precisamos encontrar os valores de x dentro do intervalo -a2 < x < a2. Vamos testar alguns valores de n:
  • Para n = 0:
x = a8
  • Para n = -1:
x = a8 - a4 = -a8
Esses são os valores dentro do intervalo especificado.

Resposta

Os locais mais prováveis de se localizar a partícula são x = a8 e x = -a8. Além disso, o gráfico da densidade de probabilidade rho(x) = |A|^2 sin^2(4 pi xa) mostra picos nesses pontos, indicando onde a partícula tem maior chance de ser encontrada dentro do intervalo -a2 < x < a2.

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