Para a função de onda de uma partícula
, com
, calcule os locais mais prováveis de se localizar a partícula e faça o gráfico da densidade de probabilidade.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão tá pedindo e identificar o que a gente vai usar pra resolver. A gente tem a função de onda de uma partícula:
definida no intervalo
. A tarefa é descobrir onde é mais provável encontrar a partícula e fazer o gráfico da densidade de probabilidade. Vamos usar conceitos de mecânica quântica, especificamente como calcular a densidade de probabilidade a partir da função de onda e identificar os pontos onde essa densidade é máxima.
Passo 2
Primeiro, a densidade de probabilidade
é dada pelo módulo ao quadrado da função de onda:
Vamos calcular isso. A função de onda é:
Quando tiramos o módulo ao quadrado, o termo exponencial passa a ter módulo 1 (porque $ |e^{i\theta}| = 1 $), então:
Passo 3
Agora, queremos saber onde a densidade de probabilidade é máxima, ou seja, onde
atinge seus valores mais altos. Olhando para a função:
A função
tem valor máximo de 1, então a densidade de probabilidade atinge seu máximo quando:
Passo 4
Para que
, o seno precisa ser
. Ou seja:
Isso acontece quando o argumento do seno é igual a
, onde
é um número inteiro.
Passo 5
Vamos resolver para
:
Dividindo ambos os lados por
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 6
Agora, precisamos encontrar os valores de
dentro do intervalo
. Vamos testar alguns valores de
:
- Para
:
- Para
:
Esses são os valores dentro do intervalo especificado.
Resposta
Os locais mais prováveis de se localizar a partícula são
e
. Além disso, o gráfico da densidade de probabilidade
mostra picos nesses pontos, indicando onde a partícula tem maior chance de ser encontrada dentro do intervalo
.