Uma partícula de massa m está sob a influência de um potencial V(x), onde -infty. A energia total da partícula é hbar omega2 e sua função de onda é
varphi(x)=A exp -m omega2 hbar x^2
b) Calcule lang<=x^2>

Passo 1

Vamos resolver a questão que pede para calcular o valor esperado de $ \hat{x}^2 $ para uma partícula com função de onda dada. Estamos trabalhando com a mecânica quântica, especificamente com conceitos de funções de onda e valores esperados. Para isso, vamos precisar entender como calcular a média de $ x^2 $ usando a função de onda fornecida.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que o valor esperado de $ \hat{x}^2 $, denotado por $ \langle \hat{x}^2 \rangle $, é calculado pela integral:
x^2
Como a função de onda $ \varphi(x) $ é real, $ \varphi^*(x) = \varphi(x) $.

Passo 3

Substituindo a função de onda na expressão, temos:
lang<= x^2 rang<= = integral-infty^infty A^2 exp-m omegahbar x^2 x^2 , dx
Aqui, $ A $ é a constante de normalização que garante que a função de onda esteja corretamente normalizada.

Passo 4

Para encontrar $ A $, usamos a condição de normalização:
A
Sabemos que $ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-a x^2} dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}} $, então:
integral-infty^infty varphi^2(x) , dx = 1 Rightarrow A^2 integral-infty^infty exp-m omegahbar x^2 dx = 1

Passo 5

Agora, substituímos $ A $ de volta na expressão de $ \langle \hat{x}^2 \rangle $:
A

Resposta

O valor esperado de $ \hat{x}^2 $ é $ \langle \hat{x}^2 \rangle = \dfrac{\hbar}{2 m \omega} $.

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