Uma partícula de massa
está sob a influência de um potencial
, onde
. A energia total da partícula é
e sua função de onda é
b) Calcule
Passo 1
Vamos resolver a questão que pede para calcular o valor esperado de $ \hat{x}^2 $ para uma partícula com função de onda dada. Estamos trabalhando com a mecânica quântica, especificamente com conceitos de funções de onda e valores esperados. Para isso, vamos precisar entender como calcular a média de $ x^2 $ usando a função de onda fornecida.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que o valor esperado de $ \hat{x}^2 $, denotado por $ \langle \hat{x}^2 \rangle $, é calculado pela integral:
Como a função de onda $ \varphi(x) $ é real, $ \varphi^*(x) = \varphi(x) $.
Passo 3
Substituindo a função de onda na expressão, temos:
Aqui, $ A $ é a constante de normalização que garante que a função de onda esteja corretamente normalizada.
Passo 4
Para encontrar $ A $, usamos a condição de normalização:
Sabemos que $ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-a x^2} dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}} $, então:
Passo 5
Agora, substituímos $ A $ de volta na expressão de $ \langle \hat{x}^2 \rangle $:
Resposta
O valor esperado de $ \hat{x}^2 $ é $ \langle \hat{x}^2 \rangle = \dfrac{\hbar}{2 m \omega} $.