Considere uma partícula descrita por uma função de onda
.
Sabendo que
e
são constantes reais positivas,
a) Normalize
.
b) Calcule
.
Sabendo que
a) Normalize
b) Calcule
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão trata de uma partícula descrita por uma função de onda
. Precisamos resolver duas partes:
a) Normalizar
.
b) Calcular
.
Para isso, vamos precisar entender conceitos de normalização de funções de onda e as incertezas em posição (
) e momento (
) na mecânica quântica.
Passo 2
Parte a: Normalização de
Primeiro, vamos entender o que significa normalizar uma função de onda. Normalizar
quer dizer ajustar a função para que a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o espaço seja 1. Matematicamente, isso é expresso por:
Dada a função de onda:
Como
fora do intervalo
, a integral de normalização simplifica para:
Passo 3
Vamos calcular essa integral passo a passo. Primeiro, expandimos o módulo ao quadrado:
Então, a integral de normalização fica:
Passo 4
Vamos resolver a integral:
Expandindo o polinômio:
Então, a integral se torna:
Calculando cada termo separadamente:
Substituindo de volta:
Simplificando:
Convertendo tudo para denominador 15:
Passo 5
Agora, voltamos à equação de normalização:
Resolvendo para
:
Resposta
A constante de normalização é $ A = \dfrac{\sqrt{15}}{4, a^{5/2}} $.