Considere uma partícula descrita por uma função de onda varphi(x).
varphi(x, 0)=lA(x^2-a^2), -aa,
Sabendo que A e a são constantes reais positivas,
a) Normalize varphi(x, 0).
b) Calcule De.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão trata de uma partícula descrita por uma função de onda varphi(x). Precisamos resolver duas partes:
a) Normalizar varphi(x, 0).
b) Calcular De.
Para isso, vamos precisar entender conceitos de normalização de funções de onda e as incertezas em posição ( De) e momento ( De) na mecânica quântica.

Passo 2

Parte a: Normalização de varphi(x, 0)
Primeiro, vamos entender o que significa normalizar uma função de onda. Normalizar varphi(x) quer dizer ajustar a função para que a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o espaço seja 1. Matematicamente, isso é expresso por:
integral-infty^infty |varphi(x)|^2 , dx = 1
Dada a função de onda:
varphi(x, 0) = A(x^2-a^2), & -a < x < a 0, & caso contrário á
Como varphi(x, 0) = 0 fora do intervalo -a < x < a, a integral de normalização simplifica para:
integral-a^a |A(x^2 - a^2)|^2 , dx = 1

Passo 3

Vamos calcular essa integral passo a passo. Primeiro, expandimos o módulo ao quadrado:
|varphi(x, 0)|^2 = A^2 (x^2 - a^2)^2
Então, a integral de normalização fica:
A^2 integral-a^a (x^2 - a^2)^2 , dx = 1

Passo 4

Vamos resolver a integral:
integral-a^a (x^2 - a^2)^2 , dx
Expandindo o polinômio:
(x^2 - a^2)^2 = x^4 - 2a^2x^2 + a^4
Então, a integral se torna:
integral-a^a x^4 - 2a^2x^2 + a^4 , dx = integral-a^a x^4 , dx - 2a^2 integral-a^a x^2 , dx + a^4 integral-a^a , dx
Calculando cada termo separadamente:
  1. integral-a^a x^4 , dx = 2a^55
  2. integral-a^a x^2 , dx = 2a^33
  3. integral-a^a , dx = 2a
Substituindo de volta:
2a^55 - 2a^2 (2a^33) + a^4 (2a) = 2a^55 - 4a^53 + 2a^5
Simplificando:
2a^55 - 4a^53 + 10a^55 = (25 - 43 + 2) a^5 = (25 - 43 + 105) a^5 = (25 - 43 + 2) a^5
Convertendo tudo para denominador 15:
(615 - 2015 + 3015) a^5 = 1615 a^5

Passo 5

Agora, voltamos à equação de normalização:
A^2 cdot 1615 a^5 = 1
Resolvendo para A:
A^2 = 1516 a^5 Rightarrow A = raiz1516 a^5 = raiz154 a^52

Resposta

A constante de normalização é $ A = \dfrac{\sqrt{15}}{4, a^{5/2}} $.

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