Normalize a função de onda abaixo para
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que normalizar a função de onda dada:
A normalização é um conceito da mecânica quântica que garante que a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o espaço seja 1. Para isso, precisamos encontrar o valor de $ A $ que satisfaz essa condição.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para normalizar a função de onda, a integral do módulo ao quadrado de $ \Psi(x, t) $ sobre todo o espaço deve ser igual a 1:
Isso significa que vamos calcular essa integral e ajustar $ A $ para que o resultado seja 1.
Passo 3
Vamos calcular $ |\Psi(x, t)|^{2} $. A função dada é:
O módulo ao quadrado de $ \Psi(x, t) $ é:
Passo 4
Observa que $ |e^{-i \omega t}|^{2} = 1 $, porque a parte imaginária não afeta o módulo. Então, simplificamos para:
Vamos expandir esse quadrado:
Passo 5
Agora, precisamos integrar isso de $ -\infty $ a $ \infty $:
Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente.
Passo 6
Primeira integral:
Segunda integral:
Observe que o integrando é uma função ímpar ($ x $ é ímpar e o exponencial é par), então a integral é zero.
Terceira integral:
Passo 7
Agora, substituindo as integrais de volta na equação de normalização:
Simplificando:
Resposta
A constante de normalização é: