Normalize a função de onda abaixo para -infty.
Psi(x, t)=A(e^-x^2 / 32+x e^-x^2 / 8) e^-i omega t

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que normalizar a função de onda dada:
Psi(x, t) = A(e^-x^2 / 32 + x e^-x^2/8) e^-i omega t
A normalização é um conceito da mecânica quântica que garante que a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o espaço seja 1. Para isso, precisamos encontrar o valor de $ A $ que satisfaz essa condição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para normalizar a função de onda, a integral do módulo ao quadrado de $ \Psi(x, t) $ sobre todo o espaço deve ser igual a 1:
Psi(x, t)
Isso significa que vamos calcular essa integral e ajustar $ A $ para que o resultado seja 1.

Passo 3

Vamos calcular $ |\Psi(x, t)|^{2} $. A função dada é:
|Psi(x, t)|^2
O módulo ao quadrado de $ \Psi(x, t) $ é:
Psi(x, t) = A(e^-x^2 / 32 + x e^-x^2/8) e^-i omega t

Passo 4

Observa que $ |e^{-i \omega t}|^{2} = 1 $, porque a parte imaginária não afeta o módulo. Então, simplificamos para:
|e^-i omega t|^2 = 1
Vamos expandir esse quadrado:
|Psi(x, t)|^2 = |A|^2 (e^-x^2 / 32 + x e^-x^2/8)^2

Passo 5

Agora, precisamos integrar isso de $ -\infty $ a $ \infty $:
-infty
Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente.

Passo 6

Primeira integral:
integral-infty^infty e^-x^2/16 dx = raiz16 pi = 4raizpi
Segunda integral:
2 integral-infty^infty x e^-x^2/32 - x^2/8 dx
Observe que o integrando é uma função ímpar ($ x $ é ímpar e o exponencial é par), então a integral é zero.
Terceira integral:
x

Passo 7

Agora, substituindo as integrais de volta na equação de normalização:
|A|^2 (4raizpi + 0 + 2raizpi) = 1
Simplificando:
|A|^2 times 6raizpi = 1 Rightarrow |A|^2 = 16raizpi Rightarrow A = 1raiz6raizpi

Resposta

A constante de normalização é:
A = 1raiz6, raizpi

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