Uma partícula de massa m e V(x)=12 m omega^2 x^2, é regida pela função de onda varphi(x)=A exp -b x^2, onde A e b são constantes:
a) A partir da equação de Schroedinger dependente do tempo obtenha a equação de Schroedinger independente do tempo.
b) Determine o valor de b e o valor da energia total do sistema para que varphi(x) seja solução da equação de Schroedinger. Obs: Lembre-se que os polinômios x^0, x^1, x^2, ldots são linearmente independentes.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Mecânica Quântica juntos! A questão fala sobre uma partícula com uma função de onda específica e pede para trabalharmos com a equação de Schrödinger, tanto na versão dependente do tempo quanto na independente. Para isso, vamos precisar entender como transformar a equação de Schrödinger dependente do tempo na independente e, depois, encontrar os valores das constantes que fazem a função de onda funcionar nessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a equação de Schrödinger dependente do tempo para uma partícula em uma dimensão:
ihbar partial Psi(x,t)partial t = ( -hbar^22m partial^2partial x^2 + V(x) ) Psi(x,t)
Aqui, $ \Psi(x,t) $ é a função de onda dependente do tempo, $ \hbar $ é a constante de Planck reduzida, $ m $ é a massa da partícula, e $ V(x) $ é o potencial.

Passo 3

No item (a), queremos obter a equação de Schrödinger independente do tempo. Para isso, assumimos que a função de onda pode ser separada em uma parte que depende de $ x $ e outra que depende de $ t $:
x
Onde $ \varphi(x) $ é a função de onda espacial e $ E $ é a energia total da partícula.

Passo 4

Substituindo essa expressão na equação de Schrödinger dependente do tempo:
ihbar ( varphi(x) cdot ( -iEhbar ) e^-iEt/hbar ) = ( -hbar^22m d^2 varphi(x)dx^2 + V(x) varphi(x) ) e^-iEt/hbar
Simplificando o lado esquerdo:
E varphi(x) e^-iEt/hbar

Passo 5

Dividindo ambos os lados por $ e^{-iEt/\hbar} $, que nunca é zero:
e^-iEt/hbar
Essa é a equação de Schrödinger independente do tempo:
E varphi(x) = -hbar^22m d^2 varphi(x)dx^2 + V(x) varphi(x)

Passo 6

Agora, no item (b), precisamos determinar o valor de $ b $ e a energia total $ E $ para que $ \varphi(x) = A e^{-b x^2} $ seja uma solução da equação de Schrödinger independente do tempo. Vamos substituir $ \varphi(x) $ na equação.

Passo 7

Primeiro, calculamos a segunda derivada de $ \varphi(x) $ com relação a $ x $:
varphi(x)
x

Passo 8

Substituindo $ \varphi(x) $ e $ \frac{d^2 \varphi}{dx^2} $ na equação de Schrödinger:
varphi(x)

Passo 9

Podemos dividir ambos os lados por $ A e^{-b x^2} $ (que não é zero) e reorganizar os termos:
A e^-b x^2

Passo 10

Agrupando os termos com $ x^2 $ e os constantes:
x^2
Para que essa igualdade seja válida para todos os valores de $ x $, os coeficientes de $ x^2 $ e os termos constantes devem ser iguais separadamente.

Passo 11

Igualando os coeficientes:
  1. Para o termo constante:
hbar^22m cdot 2b = E implies hbar^2 bm = E
  1. Para o termo com $ x^2 $:
x^2

Passo 12

Resolvendo a segunda equação para $ b $:
b
Multiplicando ambos os lados por $ m $:
- 2 hbar^2 b^2m + 12 m omega^2 = 0
Rearranjando:
m
Dividindo ambos os lados por 2:
-2 hbar^2 b^2 + 12 m^2 omega^2 = 0
Tomando a raiz quadrada:
2 hbar^2 b^2 = 12 m^2 omega^2

Passo 13

Agora, substituímos o valor de $ b $ na expressão para $ E $:
b

Resposta

Portanto, para que $ \varphi(x) = A e^{-b x^2} $ seja uma solução da equação de Schrödinger, o valor de $ b $ deve ser $ \frac{m \omega}{2 \hbar} $ e a energia total do sistema é $ E = \frac{\hbar \omega}{2} $.

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