Uma partícula de massa
e
, é regida pela função de onda
, onde
e
são constantes:
a) A partir da equação de Schroedinger dependente do tempo obtenha a equação de Schroedinger independente do tempo.
b) Determine o valor de
e o valor da energia total do sistema para que
seja solução da equação de Schroedinger. Obs: Lembre-se que os polinômios
são linearmente independentes.
a) A partir da equação de Schroedinger dependente do tempo obtenha a equação de Schroedinger independente do tempo.
b) Determine o valor de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Mecânica Quântica juntos! A questão fala sobre uma partícula com uma função de onda específica e pede para trabalharmos com a equação de Schrödinger, tanto na versão dependente do tempo quanto na independente. Para isso, vamos precisar entender como transformar a equação de Schrödinger dependente do tempo na independente e, depois, encontrar os valores das constantes que fazem a função de onda funcionar nessa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a equação de Schrödinger dependente do tempo para uma partícula em uma dimensão:
Aqui, $ \Psi(x,t) $ é a função de onda dependente do tempo, $ \hbar $ é a constante de Planck reduzida, $ m $ é a massa da partícula, e $ V(x) $ é o potencial.
Passo 3
No item (a), queremos obter a equação de Schrödinger independente do tempo. Para isso, assumimos que a função de onda pode ser separada em uma parte que depende de $ x $ e outra que depende de $ t $:
Onde $ \varphi(x) $ é a função de onda espacial e $ E $ é a energia total da partícula.
Passo 4
Substituindo essa expressão na equação de Schrödinger dependente do tempo:
Simplificando o lado esquerdo:
Passo 5
Dividindo ambos os lados por $ e^{-iEt/\hbar} $, que nunca é zero:
Essa é a equação de Schrödinger independente do tempo:
Passo 6
Agora, no item (b), precisamos determinar o valor de $ b $ e a energia total $ E $ para que $ \varphi(x) = A e^{-b x^2} $ seja uma solução da equação de Schrödinger independente do tempo. Vamos substituir $ \varphi(x) $ na equação.
Passo 7
Primeiro, calculamos a segunda derivada de $ \varphi(x) $ com relação a $ x $:
Passo 8
Substituindo $ \varphi(x) $ e $ \frac{d^2 \varphi}{dx^2} $ na equação de Schrödinger:
Passo 9
Podemos dividir ambos os lados por $ A e^{-b x^2} $ (que não é zero) e reorganizar os termos:
Passo 10
Agrupando os termos com $ x^2 $ e os constantes:
Para que essa igualdade seja válida para todos os valores de $ x $, os coeficientes de $ x^2 $ e os termos constantes devem ser iguais separadamente.
Passo 11
Igualando os coeficientes:
- Para o termo constante:
- Para o termo com $ x^2 $:
Passo 12
Resolvendo a segunda equação para $ b $:
Multiplicando ambos os lados por $ m $:
Rearranjando:
Dividindo ambos os lados por 2:
Tomando a raiz quadrada:
Passo 13
Agora, substituímos o valor de $ b $ na expressão para $ E $:
Resposta
Portanto, para que $ \varphi(x) = A e^{-b x^2} $ seja uma solução da equação de Schrödinger, o valor de $ b $ deve ser $ \frac{m \omega}{2 \hbar} $ e a energia total do sistema é $ E = \frac{\hbar \omega}{2} $.