Considere uma partícula de energia
que está na região
até encontrar uma barreira de potencial, de largura
(região
. Existe uma probabilidade de a partícula ser encontrada depois da barreira de potencial (região
, onde
). Encontre as densidades de probabilidade de a partícula ser encontrada nas três regiões,
em função das constantes
e
. Esboce um gráfico da densidade de probabilidade em função da posição em todo o espaço.
em função das constantes
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma partícula com energia
que se depara com uma barreira de potencial de altura
maior que
e largura
. Nosso objetivo é encontrar as densidades de probabilidade de encontrar a partícula nas três regiões: antes da barreira (Região I), dentro da barreira (Região II) e depois da barreira (Região III). Para isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica quântica, especialmente sobre funções de onda e densidade de probabilidade. Vamos precisar das constantes
e
que aparecem nas funções de onda para cada região.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função de onda
descreve o comportamento da partícula. A densidade de probabilidade é dada por
, que nos mostra onde a partícula tem maior chance de ser encontrada. Nas diferentes regiões, a função de onda assume formas diferentes devido à presença ou ausência da barreira de potencial.
Passo 3
Na Região I, onde
, a partícula está livre para se mover. A função de onda pode ser escrita como uma combinação de ondas viajando para a direita e para a esquerda:
Aqui,
é o número de onda relacionado à energia da partícula.
Passo 4
Na Região II, que é a barreira de potencial
com largura
, a função de onda decai exponencialmente, indicando que a partícula tem uma certa probabilidade de “tunelar” através da barreira:
Onde
é uma constante que descreve o decaimento da onda dentro da barreira.
Passo 5
Na Região III, novamente
, e a função de onda representa a parte da partícula que conseguiu atravessar a barreira:
Aqui,
é a constante que representa a amplitude da onda transmitida.
Passo 6
Agora, para encontrar as densidades de probabilidade em cada região, vamos simplesmente calcular o módulo ao quadrado das funções de onda:
- Região I:
No entanto, para densidade de probabilidade, geralmente consideramos apenas as partes reais e ignoramos as interferências oscilatórias, ficando:
- Região II:
Novamente, considerando apenas as partes exponenciais principais:
- Região III:
Passo 7
Por fim, para esboçar o gráfico da densidade de probabilidade em função da posição, vamos considerar que antes da barreira (Região I), a densidade é constante, depois na barreira (Região II) ela decai exponencialmente e, finalmente, na Região III, volta a ser constante mas com um valor menor devido à transmissão.
Resposta
As densidades de probabilidade da partícula nas três regiões são dadas por:
Além disso, o gráfico da densidade de probabilidade em função da posição apresenta uma região constante antes da barreira, uma decaimento exponencial dentro da barreira e novamente uma região constante após a barreira.