Considere uma partícula de energia E que está na região I(U=0) até encontrar uma barreira de potencial, de largura L (região I I), com U0>E. Existe uma probabilidade de a partícula ser encontrada depois da barreira de potencial (região I I I, onde U=0 ). Encontre as densidades de probabilidade de a partícula ser encontrada nas três regiões,
em função das constantes A, B, C, D e F. Esboce um gráfico da densidade de probabilidade em função da posição em todo o espaço.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma partícula com energia que se depara com uma barreira de potencial de altura maior que e largura . Nosso objetivo é encontrar as densidades de probabilidade de encontrar a partícula nas três regiões: antes da barreira (Região I), dentro da barreira (Região II) e depois da barreira (Região III). Para isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica quântica, especialmente sobre funções de onda e densidade de probabilidade. Vamos precisar das constantes e que aparecem nas funções de onda para cada região.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função de onda descreve o comportamento da partícula. A densidade de probabilidade é dada por , que nos mostra onde a partícula tem maior chance de ser encontrada. Nas diferentes regiões, a função de onda assume formas diferentes devido à presença ou ausência da barreira de potencial.

Passo 3

Na Região I, onde psiI(x) = A e^ikx + B e^-ikx , a partícula está livre para se mover. A função de onda pode ser escrita como uma combinação de ondas viajando para a direita e para a esquerda:
Aqui, é o número de onda relacionado à energia da partícula.

Passo 4

Na Região II, que é a barreira de potencial psiII(x) = C e^kappa x + D e^-kappa x com largura , a função de onda decai exponencialmente, indicando que a partícula tem uma certa probabilidade de “tunelar” através da barreira:
Onde é uma constante que descreve o decaimento da onda dentro da barreira.

Passo 5

Na Região III, novamente psiIII(x) = F e^ikx , e a função de onda representa a parte da partícula que conseguiu atravessar a barreira:
Aqui, é a constante que representa a amplitude da onda transmitida.

Passo 6

Agora, para encontrar as densidades de probabilidade em cada região, vamos simplesmente calcular o módulo ao quadrado das funções de onda:
  • Região I:
|psiI(x)|^2 = |A e^ikx + B e^-ikx|^2 = |A|^2 + |B|^2 + A^*B e^i2kx + AB^* e^-i2kx
No entanto, para densidade de probabilidade, geralmente consideramos apenas as partes reais e ignoramos as interferências oscilatórias, ficando:
|psiI(x)|^2 = |A|^2 + |B|^2
  • Região II:
|psiII(x)|^2 = |C e^kappa x + D e^-kappa x|^2 = |C|^2 e^2kappa x + |D|^2 e^-2kappa x + C^*D + CD^*
Novamente, considerando apenas as partes exponenciais principais:
|psiII(x)|^2 = |C|^2 e^2kappa x + |D|^2 e^-2kappa x
  • Região III:
|psiIII(x)|^2 = |F e^ikx|^2 = |F|^2

Passo 7

Por fim, para esboçar o gráfico da densidade de probabilidade em função da posição, vamos considerar que antes da barreira (Região I), a densidade é constante, depois na barreira (Região II) ela decai exponencialmente e, finalmente, na Região III, volta a ser constante mas com um valor menor devido à transmissão.

Resposta

As densidades de probabilidade da partícula nas três regiões são dadas por:
|psiI(x)|^2 = |A|^2 + |B|^2 & para x < 0 |psiII(x)|^2 = |C|^2 e^2kappa x + |D|^2 e^-2kappa x & para 0 <= x <= L |psiIII(x)|^2 = |F|^2 & para x > L
Além disso, o gráfico da densidade de probabilidade em função da posição apresenta uma região constante antes da barreira, uma decaimento exponencial dentro da barreira e novamente uma região constante após a barreira.

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