O potencial nuclear que liga prótons e nêutrons no núcleo de um átomo é frequentemente aproximado por um poço quadrado. Imagine um próton confinado em um poço quadrado
infinito de comprimento , um diâmetro nuclear típico. Calcule o comprimento de onda e a energia associada ao fóton que é emitido quando o próton passa do primeiro estado excitado ( ) para o estado fundamental ( ). A que região do espectro eletromagnético esse comprimento de onda pertence?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um próton preso dentro de um poço quadrado infinito, que é uma forma simplificada de modelar como prótons e nêutrons se ligam no núcleo de um átomo. A gente precisa calcular o comprimento de onda e a energia do fóton emitido quando o próton passa do estado excitado (n=2) para o estado fundamental (n=1), e descobrir em qual região do espectro eletromagnético esse comprimento de onda se encaixa. Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica quântica, especialmente o modelo da partícula na caixa, e fórmulas que relacionam energia e comprimento de onda de fótons.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona o modelo da partícula na caixa. Aqui, estamos tratando o próton como uma partícula quântica confinada em um poço com paredes infinitas e comprimento nm. Nesse modelo, os níveis de energia são quantizados e dados pela fórmula:
Onde:
é a energia no estado
é o número quântico (1, 2, 3, …)
é a constante de Planck reduzida ()
é a massa do próton
é o comprimento do poço
Passo 3
Vamos calcular as energias nos estados e . Primeiro, precisamos dos valores:
Constante de Planck, J·s
Constante de Planck reduzida, J·s
Massa do próton, kg
Comprimento do poço, nm = m
Agora, calculamos e :
Passo 4
Vamos simplificar as expressões:
Calculando para :
Para :
Passo 5
A energia do fóton emitido é a diferença entre essas duas energias:
Agora, para encontrar o comprimento de onda () do fóton, usamos a relação entre energia e comprimento de onda:
Onde:
J·s
m/s
Substituindo:
Passo 6
Agora, vamos identificar a região do espectro eletromagnético correspondente a esse comprimento de onda. metros é igual a nanômetros (nm), ou seja, aproximadamente 0,0011 nm.
No espectro eletromagnético, comprimentos de onda nessa faixa estão na região dos raios gama (γ), que são ondas de alta energia e grande frequência.
Resposta
O comprimento de onda do fóton emitido é aproximadamente metros e a energia associada é cerca de joules. Esse comprimento de onda pertence à região dos raios gama no espectro eletromagnético.