O potencial nuclear que liga prótons e nêutrons no núcleo de um átomo é frequentemente aproximado por um poço quadrado. Imagine um próton confinado em um poço quadrado
infinito de comprimento 10^-5 nm, um diâmetro nuclear típico. Calcule o comprimento de onda e a energia associada ao fóton que é emitido quando o próton passa do primeiro estado excitado ( n=2 ) para o estado fundamental ( n=1 ). A que região do espectro eletromagnético esse comprimento de onda pertence?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um próton preso dentro de um poço quadrado infinito, que é uma forma simplificada de modelar como prótons e nêutrons se ligam no núcleo de um átomo. A gente precisa calcular o comprimento de onda e a energia do fóton emitido quando o próton passa do estado excitado (n=2) para o estado fundamental (n=1), e descobrir em qual região do espectro eletromagnético esse comprimento de onda se encaixa. Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica quântica, especialmente o modelo da partícula na caixa, e fórmulas que relacionam energia e comprimento de onda de fótons.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona o modelo da partícula na caixa. Aqui, estamos tratando o próton como uma partícula quântica confinada em um poço com paredes infinitas e comprimento En = n^2 pi^2 hbar^22 m L^2 nm. Nesse modelo, os níveis de energia são quantizados e dados pela fórmula:
Onde:
  • é a energia no estado
  • é o número quântico (1, 2, 3, …)
  • é a constante de Planck reduzida ( )
  • é a massa do próton
  • é o comprimento do poço

Passo 3

Vamos calcular as energias nos estados E1 = 1^2 pi^2 (1,055 times 10^-34)^22 times 1,673 times 10^-27 times (10^-14)^2 e E2 = 2^2 pi^2 (1,055 times 10^-34)^22 times 1,673 times 10^-27 times (10^-14)^2 . Primeiro, precisamos dos valores:
  • Constante de Planck, J·s
  • Constante de Planck reduzida, J·s
  • Massa do próton, kg
  • Comprimento do poço, nm = m
Agora, calculamos e :

Passo 4

Vamos simplificar as expressões:
En = n^2 pi^2 hbar^22 m L^2
Calculando para E1 = pi^2 (1,055 times 10^-34)^22 times 1,673 times 10^-27 times (10^-14)^2 approx 6,02 times 10^-14 J :
E2 = 4 pi^2 (1,055 times 10^-34)^22 times 1,673 times 10^-27 times (10^-14)^2 approx 2,41 times 10^-13 J
Para :

Passo 5

A energia do fóton emitido é a diferença entre essas duas energias:
De
Agora, para encontrar o comprimento de onda ( E = hclambda Rightarrow lambda = hcE ) do fóton, usamos a relação entre energia e comprimento de onda:
lambda = 6,626 times 10^-34 times 3 times 10^81,81 times 10^-13 approx 1,10 times 10^-12 m
Onde:
  • J·s
  • m/s
Substituindo:

Passo 6

Agora, vamos identificar a região do espectro eletromagnético correspondente a esse comprimento de onda. metros é igual a nanômetros (nm), ou seja, aproximadamente 0,0011 nm.
No espectro eletromagnético, comprimentos de onda nessa faixa estão na região dos raios gama (γ), que são ondas de alta energia e grande frequência.

Resposta

O comprimento de onda do fóton emitido é aproximadamente metros e a energia associada é cerca de joules. Esse comprimento de onda pertence à região dos raios gama no espectro eletromagnético.

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