O estado inicial de uma partícula é dado por
psi(x)=l A e^i k0(x-x0), x0 <= x <= x0+a 0, xx+a
Onde k0=2 pi / lambda0
(a) Determine a constante de normalização; (b) Represente graficamente a densidade de probabilidade; © Determine o valor esperado da posição; (d) Calcule a incerteza (desvio padrão sigma ), associada a esse valor médio.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! Você tem uma função de onda inicial definida de uma maneira específica para uma partícula, e precisa resolver quatro partes: normalizar a constante , desenhar a densidade de probabilidade, encontrar o valor esperado da posição e calcular a incerteza associada a esse valor médio. Para isso, vamos usar conceitos de mecânica quântica, como a normalização de funções de onda, densidade de probabilidade, valor esperado e desvio padrão.

Passo 2

Parte (a): Determinar a constante de normalização integral-infty^infty |psi(x)|^2 dx = 1 .
Primeiro, precisamos normalizar a função de onda. Isso significa que a integral da densidade de probabilidade integralx0^x0 + a |A e^i k0 (x - x0)|^2 dx = 1 sobre todo o espaço deve ser igual a 1:
|A|^2 integralx0^x0 + a dx = 1 Rightarrow |A|^2 cdot a = 1
Sabemos que A = 1raiza é diferente de zero apenas entre e , então a integral fica:
Como , a expressão simplifica para:
Portanto,

Passo 3

Parte (b): Representar graficamente a densidade de probabilidade.
A densidade de probabilidade é dada por psi(x) = 1raiza e^i k0 (x - x0), & x0 <= x <= x0 + a 0, & caso contrário . Com |psi(x)|^2 = 1a, & x0 <= x <= x0 + a 0, & caso contrário definida como:
á
Então,
á
Isso significa que a densidade de probabilidade é constante no intervalo e zero fora desse intervalo. Graficamente, seria um retângulo com altura e largura , centrado em .

Passo 4

Parte ©: Determinar o valor esperado da posição lang<= x rang<= = integral-infty^infty x |psi(x)|^2 dx .
O valor esperado da posição é calculado pela integral:
lang<= x rang<= = integralx0^x0 + a x cdot 1a dx = 1a integralx0^x0 + a x dx
Substituindo integralx0^x0 + a x dx = x^22 |x0^x0 + a = (x0 + a)^2 - x0^22 = 2x0 a + a^22 = x0 a + a^22 :
lang<= x rang<= = 1a ( x0 a + a^22 ) = x0 + a2
Resolvendo a integral:
Então,

Passo 5

Parte (d): Calcular a incerteza (desvio padrão sigma = raizlang<= x^2 rang<= - lang<= x rang<=^2 ) associada a esse valor médio.
A incerteza é dada por:
lang<= x^2 rang<= = integral-infty^infty x^2 |psi(x)|^2 dx = integralx0^x0 + a x^2 cdot 1a dx = 1a integralx0^x0 + a x^2 dx
Primeiro, calculamos integralx0^x0 + a x^2 dx = x^33 |x0^x0 + a = (x0 + a)^3 - x0^33 :
(x0 + a)^3 = x0^3 + 3x0^2 a + 3x0 a^2 + a^3
Resolvendo a integral:
lang<= x^2 rang<= = 1a ( 3x0^2 a + 3x0 a^2 + a^33 ) = 1a (x0^2 + x0 a + a^23) = x0^2 + x0 a + a^23
Expandindo lang<= x rang<=^2 = ( x0 + a2 )^2 = x0^2 + x0 a + a^24 :
sigma = raiz(x0^2 + x0 a + a^23) - (x0^2 + x0 a + a^24) = raiza^23 - a^24 = raiza^212 = a2raiz3
Então,
Agora, sabemos que , então:
Finalmente, a incerteza:

Resposta

(a) A constante de normalização é .
(b) A densidade de probabilidade é uma função retangular com altura no intervalo e zero fora dele.
© O valor esperado da posição é .
(d) A incerteza associada é .

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