O estado inicial de uma partícula é dado por
Onde
(a) Determine a constante de normalização; (b) Represente graficamente a densidade de probabilidade; © Determine o valor esperado da posição; (d) Calcule a incerteza (desvio padrão ), associada a esse valor médio.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! Você tem uma função de onda inicial definida de uma maneira específica para uma partícula, e precisa resolver quatro partes: normalizar a constante , desenhar a densidade de probabilidade, encontrar o valor esperado da posição e calcular a incerteza associada a esse valor médio. Para isso, vamos usar conceitos de mecânica quântica, como a normalização de funções de onda, densidade de probabilidade, valor esperado e desvio padrão.

Passo 2

Parte (a): Determinar a constante de normalização .
Primeiro, precisamos normalizar a função de onda. Isso significa que a integral da densidade de probabilidade sobre todo o espaço deve ser igual a 1:
Sabemos que é diferente de zero apenas entre e , então a integral fica:
Como , a expressão simplifica para:
Portanto,

Passo 3

Parte (b): Representar graficamente a densidade de probabilidade.
A densidade de probabilidade é dada por . Com definida como:
á
Então,
á
Isso significa que a densidade de probabilidade é constante no intervalo e zero fora desse intervalo. Graficamente, seria um retângulo com altura e largura , centrado em .

Passo 4

Parte ©: Determinar o valor esperado da posição .
O valor esperado da posição é calculado pela integral:
Substituindo :
Resolvendo a integral:
Então,

Passo 5

Parte (d): Calcular a incerteza (desvio padrão ) associada a esse valor médio.
A incerteza é dada por:
Primeiro, calculamos :
Resolvendo a integral:
Expandindo :
Então,
Agora, sabemos que , então:
Finalmente, a incerteza:

Resposta

(a) A constante de normalização é .
(b) A densidade de probabilidade é uma função retangular com altura no intervalo e zero fora dele.
© O valor esperado da posição é .
(d) A incerteza associada é .

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