Um elétron é descrito pela função de onda
onde está em nanômetros e é uma constante. (a) Encontre o valor de que normaliza . (b) Onde é mais provável encontrar o elétron; isto é, para qual valor de a probabilidade de encontrar o elétron é maior? (Dica: o valor mais provável de ocorre quando é máxima) © Calcule para este elétron e compare seu resultado com sua posição mais provável. Comente as diferenças que encontrar.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre a função de onda de um elétron, que é dada por:
Aqui, está em nanômetros e é uma constante que precisamos encontrar. O conteúdo envolvido aqui é a normalização de funções de onda na mecânica quântica, que garante que a probabilidade total de encontrar o elétron em todo o espaço seja 1. Para isso, vamos precisar integrar o quadrado da função de onda sobre todo o espaço e igualar a 1.

Passo 2

Primeiro, vamos normalizar a função de onda. A condição de normalização é:
Como para , a integral se reduz a:
Simplificando:

Passo 3

Vamos expandir :
Substituindo na integral:

Passo 4

Agora, vamos calcular cada uma das integrais:
Substituindo esses valores:
Calculando dentro dos parênteses:
Então:

Passo 5

Agora que encontramos , passamos para a próxima parte.

Passo 6

Queremos descobrir onde é mais provável encontrar o elétron, ou seja, para qual valor de , é máximo. Primeiro, vamos encontrar :
Para encontrar o máximo, derivamos essa expressão em relação a e igualamos a zero.

Passo 7

Vamos considerar e encontrar :
Usando a regra do produto e a regra da cadeia:
Simplificando:
Fatorando :
Então, quando , ou seja, quando , o que não faz sentido físico. Assim, o máximo ocorre onde a derivada muda de sinal, que acontece em .

Passo 8

Portanto, o valor de que torna máximo é:

Passo 9

Agora, vamos calcular , que é o valor esperado de :
Vamos expandir novamente:
Separando as integrais:

Passo 10

Calculamos cada integral:
Substituindo:

Resposta

(a) A constante de normalização é .
(b) O elétron é mais provavelmente encontrado em nm.
© O valor esperado nm. Comparando com a posição mais provável (0,693 nm), vemos que o valor médio está um pouco à direita, indicando que há uma maior probabilidade de encontrar o elétron além da posição mais provável, mas a maioria das probabilidades está concentrada perto de 0,693 nm.

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