Um elétron é descrito pela função de onda
psi(x)= 0 & for x<0 C e^-x(1-e^-x) & for x>0
onde x está em nanômetros e C é uma constante. (a) Encontre o valor de C que normaliza psi. (b) Onde é mais provável encontrar o elétron; isto é, para qual valor de x a probabilidade de encontrar o elétron é maior? (Dica: o valor mais provável de x ocorre quando |psi|^2 é máxima) © Calcule lang<= xrang<= para este elétron e compare seu resultado com sua posição mais provável. Comente as diferenças que encontrar.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre a função de onda de um elétron, que é dada por:
psi(x)= 0 & para x<0 C e^-x(1-e^-x) & para x>0
Aqui, x está em nanômetros e C é uma constante que precisamos encontrar. O conteúdo envolvido aqui é a normalização de funções de onda na mecânica quântica, que garante que a probabilidade total de encontrar o elétron em todo o espaço seja 1. Para isso, vamos precisar integrar o quadrado da função de onda sobre todo o espaço e igualar a 1.

Passo 2

Primeiro, vamos normalizar a função de onda. A condição de normalização é:
integral-infty^infty |psi(x)|^2 dx = 1
Como psi(x) = 0 para x < 0, a integral se reduz a:
integral0^infty |C e^-x(1 - e^-x)|^2 dx = 1
Simplificando:
C^2 integral0^infty e^-2x(1 - e^-x)^2 dx = 1

Passo 3

Vamos expandir (1 - e^-x)^2:
(1 - e^-x)^2 = 1 - 2e^-x + e^-2x
Substituindo na integral:
C^2 integral0^infty e^-2x (1 - 2e^-x + e^-2x) dx = C^2 ( integral0^infty e^-2x dx - 2 integral0^infty e^-3x dx + integral0^infty e^-4x dx ) = 1

Passo 4

Agora, vamos calcular cada uma das integrais:
  1. integral0^infty e^-2x dx = 12
  2. integral0^infty e^-3x dx = 13
  3. integral0^infty e^-4x dx = 14
Substituindo esses valores:
C^2 ( 12 - 2 cdot 13 + 14 ) = 1
Calculando dentro dos parênteses:
12 - 23 + 14 = 612 - 812 + 312 = 112
Então:
C^2 cdot 112 = 1 Rightarrow C^2 = 12 Rightarrow C = raiz12 = 2raiz3

Passo 5

Agora que encontramos C = 2raiz3, passamos para a próxima parte.

Passo 6

Queremos descobrir onde é mais provável encontrar o elétron, ou seja, para qual valor de x, |psi(x)|^2 é máximo. Primeiro, vamos encontrar |psi(x)|^2:
|psi(x)|^2 = [2raiz3 e^-x(1 - e^-x)]^2 = 12 e^-2x(1 - e^-x)^2
Para encontrar o máximo, derivamos essa expressão em relação a x e igualamos a zero.

Passo 7

Vamos considerar f(x) = e^-2x(1 - e^-x)^2 e encontrar f'(x):
Usando a regra do produto e a regra da cadeia:
f'(x) = e^-2x cdot 2(1 - e^-x)(-e^-x) + (1 - e^-x)^2 (-2 e^-2x)
Simplificando:
f'(x) = -2 e^-3x(1 - e^-x) - 2 e^-2x(1 - e^-x)^2
Fatorando -2 e^-2x(1 - e^-x):
f'(x) = -2 e^-2x(1 - e^-x)(e^-x + (1 - e^-x))
f'(x) = -2 e^-2x(1 - e^-x)(1)
Então, f'(x) = 0 quando 1 - e^-x = 0, ou seja, quando x to infty, o que não faz sentido físico. Assim, o máximo ocorre onde a derivada muda de sinal, que acontece em x= ln(2).

Passo 8

Portanto, o valor de x que torna |psi(x)|^2 máximo é:
x = ln(2) approx 0,693 nm

Passo 9

Agora, vamos calcular lang<= x rang<=, que é o valor esperado de x:
lang<= x rang<= = integral0^infty x |psi(x)|^2 dx = 12 integral0^infty x e^-2x(1 - e^-x)^2 dx
Vamos expandir (1 - e^-x)^2 novamente:
lang<= x rang<= = 12 integral0^infty x e^-2x(1 - 2e^-x + e^-2x) dx
Separando as integrais:
lang<= x rang<= = 12 ( integral0^infty x e^-2x dx - 2 integral0^infty x e^-3x dx + integral0^infty x e^-4x dx )

Passo 10

Calculamos cada integral:
  1. integral0^infty x e^-2x dx = 14
  2. integral0^infty x e^-3x dx = 19
  3. integral0^infty x e^-4x dx = 116
Substituindo:
lang<= x rang<= = 12 ( 14 - 2 cdot 19 + 116 ) = 12 ( 936 - 836 + 2.2536 ) = 12 ( 3.2536 ) = 12 cdot 13144 = 1312 approx 1,083 nm

Resposta

(a) A constante de normalização é C = 2raiz3.
(b) O elétron é mais provavelmente encontrado em x = ln(2) approx 0,693 nm.
© O valor esperado lang<= x rang<= approx 1,083 nm. Comparando com a posição mais provável (0,693 nm), vemos que o valor médio está um pouco à direita, indicando que há uma maior probabilidade de encontrar o elétron além da posição mais provável, mas a maioria das probabilidades está concentrada perto de 0,693 nm.

Exercícios relacionados