Um elétron é descrito pela função de onda
onde
está em nanômetros e
é uma constante. (a) Encontre o valor de
que normaliza
. (b) Onde é mais provável encontrar o elétron; isto é, para qual valor de
a probabilidade de encontrar o elétron é maior? (Dica: o valor mais provável de
ocorre quando
é máxima) © Calcule
para este elétron e compare seu resultado com sua posição mais provável. Comente as diferenças que encontrar.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre a função de onda de um elétron, que é dada por:
Aqui,
está em nanômetros e
é uma constante que precisamos encontrar. O conteúdo envolvido aqui é a normalização de funções de onda na mecânica quântica, que garante que a probabilidade total de encontrar o elétron em todo o espaço seja 1. Para isso, vamos precisar integrar o quadrado da função de onda sobre todo o espaço e igualar a 1.
Passo 2
Primeiro, vamos normalizar a função de onda. A condição de normalização é:
Como
para
, a integral se reduz a:
Simplificando:
Passo 3
Vamos expandir
:
Substituindo na integral:
Passo 4
Agora, vamos calcular cada uma das integrais:
Substituindo esses valores:
Calculando dentro dos parênteses:
Então:
Passo 5
Agora que encontramos
, passamos para a próxima parte.
Passo 6
Queremos descobrir onde é mais provável encontrar o elétron, ou seja, para qual valor de
,
é máximo. Primeiro, vamos encontrar
:
Para encontrar o máximo, derivamos essa expressão em relação a
e igualamos a zero.
Passo 7
Vamos considerar
e encontrar
:
Usando a regra do produto e a regra da cadeia:
Simplificando:
Fatorando
:
Então,
quando
, ou seja, quando
, o que não faz sentido físico. Assim, o máximo ocorre onde a derivada muda de sinal, que acontece em
.
Passo 8
Portanto, o valor de
que torna
máximo é:
Passo 9
Agora, vamos calcular
, que é o valor esperado de
:
Vamos expandir
novamente:
Separando as integrais:
Passo 10
Calculamos cada integral:
Substituindo:
Resposta
(a) A constante de normalização é
.
(b) O elétron é mais provavelmente encontrado em
nm.
© O valor esperado
nm. Comparando com a posição mais provável (0,693 nm), vemos que o valor médio está um pouco à direita, indicando que há uma maior probabilidade de encontrar o elétron além da posição mais provável, mas a maioria das probabilidades está concentrada perto de 0,693 nm.