Um elétron se encontra no estado de um poço unidimensional quadrado infinito. (a) Mostre que a probabilidade de encontrar o elétron na região entre os pontos e é . (b) Calcule a probabilidade de encontrar o elétron em uma região de tamanho no entorno do ponto .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um elétron no estado de um poço unidimensional quadrado infinito. A gente vai usar a teoria dos poços de potencial da mecânica quântica para resolver esse exercício. Precisamos entender a função de onda do elétron nesse estado e calcular a probabilidade de encontrá-lo em certas regiões do poço.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função de onda para um poço unidimensional infinito é dada por:
Aqui, é o comprimento do poço, e é o número quântico principal, que no nosso caso é 5.

Passo 3

A probabilidade de encontrar o elétron entre e é dada por:
Então, para a parte (a), queremos encontrar .

Passo 4

Vamos calcular :

Passo 5

Agora, substituímos na integral para encontrar a probabilidade:

Passo 6

Para resolver a integral, usamos a identidade trigonométrica:
Aplicando isso:

Passo 7

Integrando termo a termo:
Calculando nos limites:
Sabemos que , então:

Resposta

A probabilidade de encontrar o elétron na região entre e é .

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