Um elétron se encontra no estado de um poço unidimensional quadrado infinito. (a) Mostre que a probabilidade de encontrar o elétron na região entre os pontos e é . (b) Calcule a probabilidade de encontrar o elétron em uma região de tamanho no entorno do ponto .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um elétron no estado de um poço unidimensional quadrado infinito. A gente vai usar a teoria dos poços de potencial da mecânica quântica para resolver esse exercício. Precisamos entender a função de onda do elétron nesse estado e calcular a probabilidade de encontrá-lo em certas regiões do poço.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função de onda para um poço unidimensional infinito é dada por:
Aqui, é o comprimento do poço, e é o número quântico principal, que no nosso caso é 5.
Passo 3
A probabilidade de encontrar o elétron entre e é dada por:
Então, para a parte (a), queremos encontrar .
Passo 4
Vamos calcular :
Passo 5
Agora, substituímos na integral para encontrar a probabilidade:
Passo 6
Para resolver a integral, usamos a identidade trigonométrica:
Aplicando isso:
Passo 7
Integrando termo a termo:
Calculando nos limites:
Sabemos que , então:
Resposta
A probabilidade de encontrar o elétron na região entre e é .