Um elétron se encontra no estado n=5 de um poço unidimensional quadrado infinito. (a) Mostre que a probabilidade de encontrar o elétron na região entre os pontos x=0,2 L e x=0,4 L é 1 / 5. (b) Calcule a probabilidade de encontrar o elétron em uma região de tamanho De no entorno do ponto x=L / 2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um elétron no estado de um poço unidimensional quadrado infinito. A gente vai usar a teoria dos poços de potencial da mecânica quântica para resolver esse exercício. Precisamos entender a função de onda do elétron nesse estado e calcular a probabilidade de encontrá-lo em certas regiões do poço.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função de onda para um poço unidimensional infinito é dada por:
psin(x) = raiz2L sin(npi xL)
Aqui, é o comprimento do poço, e é o número quântico principal, que no nosso caso é 5.

Passo 3

A probabilidade de encontrar o elétron entre P(a <= x <= b) = integrala^b |psin(x)|^2 dx e é dada por:
Então, para a parte (a), queremos encontrar .

Passo 4

Vamos calcular |psi5(x)|^2 = ( raiz2L sin(5pi xL) )^2 = 2L sin^2(5pi xL) :

Passo 5

Agora, substituímos na integral para encontrar a probabilidade:
P = integral0,2L^0,4L 2L sin^2(5pi xL) dx

Passo 6

Para resolver a integral, usamos a identidade trigonométrica:
sin^2(theta) = 1 - cos(2theta)2
Aplicando isso:
P = integral0,2L^0,4L 2L cdot 1 - cos(10pi xL)2 dx = 1L integral0,2L^0,4L (1 - cos(10pi xL)) dx

Passo 7

Integrando termo a termo:
P = 1L [ x - L10pi sin(10pi xL) ]0,2L^0,4L
Calculando nos limites:
P = 1L [ (0,4L - L10pi sin(40pi)) - (0,2L - L10pi sin(20pi)) ]
Sabemos que P = 1L (0,4L - 0,2L) = 0,2LL = 0,2 = 15 , então:

Resposta

A probabilidade de encontrar o elétron na região entre e é .

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