Considere uma partícula P no espaço, cuja trajetória no instante t é dada por r(t). Considere o vetorvelocidade v(t) = (t^3, e^(t-1), (t-1)/t), no instante t.
Qual é a posição r(t) de P, sabendo que r(1) = (0, 2, 2) ?

Passo 1

Beleza, então a gente tem uma partícula que se move no espaço e a trajetória dela é descrita por um vetor posição r(t). A velocidade dela em qualquer instante t é dada pelo vetor . O que a gente precisa descobrir é a posição r(t) dessa partícula, sabendo que quando , a posição é . Vamos usar conhecimento de cálculo, mais especificamente de integração, para resolver esse problema.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o vetor velocidade v(t) é a derivada do vetor posição r(t) em relação ao tempo t. Ou seja:
Para encontrar r(t), precisamos integrar o vetor velocidade em relação a t. Isso significa que vamos integrar cada componente do vetor separadamente.

Passo 3

Vamos integrar cada componente do vetor velocidade:
  1. Primeira componente:
  1. Segunda componente:
  1. Terceira componente:
Aqui, , e são constantes de integração que a gente vai determinar usando a condição inicial.

Passo 4

Agora, vamos montar o vetor posição r(t) juntando as componentes integradas:

Passo 5

Usando a condição inicial , vamos substituir na expressão de r(t) para encontrar as constantes:
  1. Primeira componente:
  1. Segunda componente:
  1. Terceira componente:

Resposta

Substituindo as constantes encontradas na expressão de r(t), temos:
Então, a posição da partícula em qualquer instante t é dada por esse vetor.

Exercícios relacionados