Considere uma partícula no espaço, cuja trajetória no instante é dada por . Considere o vetorvelocidade , no instante .
Qual é a posição de , sabendo que ?

Passo 1

Beleza, então a gente tem uma partícula que se move no espaço e a trajetória dela é descrita por um vetor posição . A velocidade dela em qualquer instante é dada pelo vetor . O que a gente precisa descobrir é a posição dessa partícula, sabendo que quando , a posição é . Vamos usar conhecimento de cálculo, mais especificamente de integração, para resolver esse problema.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o vetor velocidade é a derivada do vetor posição em relação ao tempo . Ou seja:
Para encontrar , precisamos integrar o vetor velocidade em relação a . Isso significa que vamos integrar cada componente do vetor separadamente.

Passo 3

Vamos integrar cada componente do vetor velocidade:
  1. Primeira componente:
  1. Segunda componente:
  1. Terceira componente:
Aqui, , e são constantes de integração que a gente vai determinar usando a condição inicial.

Passo 4

Agora, vamos montar o vetor posição juntando as componentes integradas:

Passo 5

Usando a condição inicial , vamos substituir na expressão de para encontrar as constantes:
  1. Primeira componente:
  1. Segunda componente:
  1. Terceira componente:

Resposta

Substituindo as constantes encontradas na expressão de , temos:
Então, a posição da partícula em qualquer instante é dada por esse vetor.

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