Suponha que a variável aleatória bidimensional tenha fdp conjunta
a) Verifique se a função conjunta é a fdp.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. A questão nos dá uma função de densidade de probabilidade conjunta para as variáveis aleatórias e . Nosso objetivo é verificar se essa função realmente é uma função de densidade de probabilidade (fdp). Para isso, vamos precisar lembrar que uma fdp conjunta deve satisfazer duas condições principais:
Não-negatividade: para todos os valores de e .
Integral total igual a 1: A integral dupla de sobre todo o espaço amostral deve ser igual a 1.
Vamos seguir esses passos para verificar se a função dada atende a esses critérios.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar a não-negatividade da função. Observando a expressão de :
Como está entre 0 e 1 e entre 0 e 2, todos os termos e são não-negativos. Portanto, é sempre maior ou igual a zero nesse intervalo, satisfazendo a primeira condição.
Passo 3
Agora, vamos verificar a integral total da função. Precisamos calcular a integral dupla de sobre os intervalos de e :
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Passo 4
Primeiro, integramos em relação a :
Calculando cada parte:
Somando as duas partes:
Passo 5
Agora, vamos integrar essa expressão resultante em relação a :
Calculando cada integral:
Somando as duas partes:
Resposta
Sim, a função conjunta é uma função de densidade de probabilidade válida, pois satisfaz tanto a não-negatividade quanto a condição de integral total igual a 1.