Suponha que a variável aleatória bidimensional (X, Y) tenha fdp conjunta
f(x, y)= x^2+x y3 & se 0 <= x <= 1, 0 <= y <= 2 0 & se c c
a) Verifique se a função conjunta é a fdp.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. A questão nos dá uma função de densidade de probabilidade conjunta para as variáveis aleatórias e . Nosso objetivo é verificar se essa função realmente é uma função de densidade de probabilidade (fdp). Para isso, vamos precisar lembrar que uma fdp conjunta deve satisfazer duas condições principais:
  1. Não-negatividade: para todos os valores de e .
  2. Integral total igual a 1: A integral dupla de sobre todo o espaço amostral deve ser igual a 1.
Vamos seguir esses passos para verificar se a função dada atende a esses critérios.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a não-negatividade da função. Observando a expressão de f(x, y) = x^2 + dfracx y3 & se 0 <= x <= 1 e 0 <= y <= 2 0 & caso contrário :
á
Como está entre 0 e 1 e entre 0 e 2, todos os termos e são não-negativos. Portanto, é sempre maior ou igual a zero nesse intervalo, satisfazendo a primeira condição.

Passo 3

Agora, vamos verificar a integral total da função. Precisamos calcular a integral dupla de integral0^1 integral0^2 ( x^2 + dfracx y3 ) dy , dx sobre os intervalos de e :
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 4

Primeiro, integramos em relação a integral0^2 ( x^2 + dfracx y3 ) dy = integral0^2 x^2 dy + integral0^2 dfracx y3 dy :
integral0^2 x^2 dy = x^2 cdot y |0^2 = x^2 cdot 2 = 2x^2
Calculando cada parte:
integral0^2 dfracx y3 dy = dfracx3 cdot dfracy^22 |0^2 = dfracx3 cdot dfrac42 = dfrac2x3
2x^2 + dfrac2x3
Somando as duas partes:

Passo 5

Agora, vamos integrar essa expressão resultante em relação a integral0^1 ( 2x^2 + dfrac2x3 ) dx = 2 integral0^1 x^2 dx + dfrac23 integral0^1 x dx :
2 integral0^1 x^2 dx = 2 cdot dfracx^33 |0^1 = 2 cdot dfrac13 = dfrac23
Calculando cada integral:
dfrac23 integral0^1 x dx = dfrac23 cdot dfracx^22 |0^1 = dfrac23 cdot dfrac12 = dfrac13
dfrac23 + dfrac13 = 1
Somando as duas partes:

Resposta

Sim, a função conjunta é uma função de densidade de probabilidade válida, pois satisfaz tanto a não-negatividade quanto a condição de integral total igual a 1.

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